Encuentra el producto de $\alpha \beta$

Question

P. Encuentra el producto de $\alpha \beta$ donde son permutaciones e iguales:

$$\alpha=(1,5,2,3)$$ y $$\beta=(1,5,4)(2,3)$$

Entonces el producto es:

$$\alpha \beta = (1,4)(3,5)$$ pero cuando lo calcule obtuve:

$$\alpha \beta =(1,5,2,3)(1,5,4)(2,3)=(1,2)(4,5)$$

¿Entonces dónde me equivoqué?

Answer 1

No hay acuerdo en la literatura sobre si las permutaciones deben ser compuestas de derecha a izquierda o de izquierda a derecha. Se utilizan ambas convenciones. La mayoría de los autores dirá explícitamente qué convención están utilizando. (Siempre busco eso cuando estoy leyendo sobre permutaciones.)

La respuesta dada se basa en la composición de izquierda a derecha: $(1,5,2,3)(1,5,4)(2,3) = (1,4)(3,5)$ siguiendo los índices de izquierda a derecha a través de las permutaciones: $1\mapsto 5\mapsto 4$, y $4\mapsto 1$, por lo que $(1,4)$ está en el producto. Y luego $2\mapsto 3\mapsto 2$, entonces $2$ se mantiene fijo. Y luego $3\mapsto 1\mapsto 5$, y $5\mapsto 2\mapsto 3$, por lo que $(3,5)$ está en el producto.

Tu respuesta está cerca de ser correcta con la convención de composición de derecha a izquierda, pero cometiste un ligero error de composición. Con la composición de derecha a izquierda, tenemos $1\mapsto 5\mapsto 2$, y $2\mapsto 3\mapsto 1$, entonces $(1,2)$ está en el producto; y $3\mapsto 2\mapsto 3$, entonces $3$ se mantiene fijo, y $4\mapsto 1\mapsto 5$ mientras que $5\mapsto 4$, por lo que $(4,5)$ está en el producto. Por lo tanto, con esta convención la respuesta correcta es $(1,2)(4,5)$.

[EDICIÓN: Veo que has corregido tu cálculo. Tu respuesta es correcta con la convención de derecha a izquierda.]