¿Cómo es posible que un metrónomo permita una gama tan amplia de tempos en una distancia tan corta?

Question

He estado trabajando en una pregunta para los metrónomos preguntando lo siguiente:

Supongamos que un metrónomo puede ser tratado como un péndulo de doble ponderación. Sea $m_1$ sea la masa del peso móvil del metrónomo, $l_1$ la distancia de $m_1$ del centro de masa de la empresa desde el punto de rotación, $m_2$ la masa del contrapeso fijo, y $l_2$ la distancia de $m_2$ del centro de masa de la empresa desde el punto de rotación. Deduzca una ecuación para la frecuencia natural de dicho sistema en pulsaciones por minuto. Suponga que la masa de la varilla es despreciable y que las oscilaciones son pequeñas, y trate las dos masas como masas puntuales.

Primero establecí la ecuación angular del movimiento como:
$$m_2g\sin\theta l_2-m_1g\sin\theta l_1=(m_1l_1^2+m_2l_2^2)\frac{d^2\theta}{dt^2}$$ Usando eso para los ángulos pequeños, $\sin \theta \approx \theta$ y reordenando, obtengo
$$\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{m_1l_1-m_2l_2}{m_1l_1^2+m_2l_2^2}g\theta=0$$
de la que obtengo la frecuencia angular natural $$\omega_0=\sqrt{\frac{m_1l_1-m_2l_2}{m_1l_1^2+m_2l_2^2}g}$$
que puedo convertir en pulsaciones por minuto observando que un metrónomo pulsa dos veces por ciclo, lo que resulta: $$bpm=\frac{60}{\pi}\sqrt{\frac{m_1l_1-m_2l_2}{m_1l_1^2+m_2l_2^2}g}$$

El rango de tempos para un metrónomo suele ser de 40-208 bpm, siendo 208 bpm el tempo marcado más cercano al punto de rotación, y 40 bpm el más lejano. Como el contrapeso es fijo, la ecuación de los bpm es esencialmente una función de $l_1$ por lo que si fijamos valores particulares de $m_1$ , $m_2$ y $l_2$ entonces podemos encontrar la longitud de la varilla que necesitamos (es decir, el rango de valores para $l_1$ para tempos entre 40 y 208 bpm). Si establezco bpm=208 (y $m_1$ =20 gramos, $m_2$ =22 gramos, y $l_2$ alrededor de 20 mm, aunque estos valores no son particularmente especiales) y resolver para $l_1$ En el caso de la barra del metrónomo, obtengo respuestas razonables del orden de unos pocos centímetros, pero para bpm=40, estoy obteniendo valores del orden de metros, lo que es claramente mucho más largo que una barra de metrónomo real. Así que en general mis preguntas son:

• ¿Es correcto mi análisis basado en las suposiciones que he hecho?
• Si es así, ¿qué está causando un error tan dramático en la longitud de la varilla?

Mis conjeturas sobre las suposiciones potencialmente espurias que he hecho son:

• suponiendo que la varilla tenga una masa despreciable, aunque esto parece razonable viendo un metrónomo típico.
• aproximando las dos masas como masas puntuales, ya que el momento de inercia del sistema es el denominador de la $\omega_0$ plazo.
• Sin tener en cuenta las pérdidas por fricción/el tipo de pérdida por fricción presente. Incluir un término de pérdida proporcional a la velocidad no parece ayudar mucho, pero he visto que los metrónomos se modelan típicamente con un Van der Pol término de pérdida, lo que podría marcar la diferencia, pero no sé lo suficiente sobre el tema para decirlo.
• Si no se tiene en cuenta el efecto de la escape el mecanismo de engranajes y muelles que regula la amplitud del metrónomo.

Cualquier consejo sobre esto sería muy apreciado, así como cualquier crítica sobre el formato, ya que todavía estoy aprendiendo.

Answer 1

Sospecho que tus resultados de "orden de metros" se deben a que olvidaste el signo en el h.l. de tu primera ecuación y posteriormente saltaste al terreno de las frecuencias puramente imaginarias.

La primera ecuación correcta es $$ -m_2g\, l_2 \sin\theta+m_1g\,l_1\sin\theta =(m_1l_1^2+m_2l_2^2)\frac{d^2\theta}{dt^2}. $$ Para comprobarlo, podemos poner la masa del mechero a cero y suponer $\theta \ll 1$ . Obtenemos $- g \theta = l_2 \ddot\theta$ , que es una ecuación normal para un péndulo.

Una sugerencia: su frecuencia $\omega$ sigue siendo la misma si se multiplican ambas masas por el mismo número. Así que para reducir el número de parámetros que tienes que ajustar, elimina una masa (digamos, $m_2$ ) de la ecuación introduciendo el ratio $x=\frac{m_1 }{m_2 }$ : $$ \omega_0=\sqrt{\frac{l_2 -x\,l_1}{l_2^2+x\,l_1^2}\,g}. $$ Los signos fueron corregidos con respecto a su expresión.

Algunos análisis:

1. Desde $m_1$ es la masa más ligera tenemos $x<1$ .
2. Para que la frecuencia sea real tenemos el valor máximo permitido de $l_1$ : $l_1 < x^{-1}\,l_2$ . La frecuencia tendería a cero en ese caso.
3. Frecuencia máxima alcanzable para un determinado $l_2$ se obtiene fijando $l_1$ a cero: $\omega_\text{max}=\sqrt{\frac g {l_2}}$