¿Son categorías localmente pequeños suficiente?

Question

Además de la categoría de la teoría misma, es allí cualquier parte de las matemáticas que las categorías que no son localmente pequeños juegan un papel importante?

Por otra parte, no entiendo por qué la gente se preocupa por cuestiones de tamaño de la categoría de teoría. Me siento como categoría de la teoría es sólo un tipo de lenguaje que utilizamos cuando nos engañan, es decir, queremos utilizar una única definición para decir un montón de cosas y ver lo que son verdaderas en virtud de esa definición. Sin embargo, cuando estas ideas se aplican a conjuntos, entonces no tiene que preocuparse acerca de todos los problemas de coherencia que surgen debido a problemas de tamaño.

Por ejemplo, para un determinado abelian categoría $\mathscr{A}$, podemos construir la categoría de complejos de la cadena de $Kom(\mathscr{A})$ y demostrar que esta es una abelian categoría de nuevo. Así podemos formar un número finito de iteración $Kom(...Kom(\mathscr{A})...)$. Con esto en la mano, cuando este se aplica directamente a $\mathscr{A}=$Ab, podemos formular esta puramente en la zona de ZFC. Así que no veo "incorporación de la categoría de la teoría a la ZFC" es un gran problema, ya que cuando aplicamos categórica ideas en oraciones formulado sólo con los juegos, todas las pruebas pueden ser puramente escrito en ZFC. Estoy malentendido algo?

Answer 1

Categórica idioma sería inútil en su papel como conceptual de la taquigrafía en las aplicaciones importantes, tales como la geometría algebraica o topología algebraica, si se limita a categorías pequeñas. Esto no es porque este lenguaje es hacer trampa , pero debido a que ZFC no es una buena práctica lenguaje universal de las matemáticas. En el ejemplo que das, la categoría de todos los abelian grupos $\mathbf{Ab}$ no forman un conjunto en ZFC y que limita lo que se puede muy bien decir acerca de él en ZFC. E. g., no se puede cuantificar sobre todos los functors de $\mathbf{Ab}$ a sí mismo. Usted puede traducir más pruebas de que el uso categórico idioma en "moralmente equivalente a" pruebas en ZFC, pero las traducciones generalmente implican complicaciones sobre el conjunto de las cuestiones teóricas que son irrelevantes para el que subyacen las ideas matemáticas. ZFC es una gran herramienta técnica, pero no es la mejor forma de derecho para la formalización de las matemáticas - no hemos descubierto aún a $\ddot{\smile}$.