¿Cómo puedo probar que $ \operatorname {arctg}(x) + \operatorname {arctg}( \frac {1}{x}) = \frac { \pi }{2}$ dado que $x > 0$ ?

Question

Lo cual sería la forma más fácil de probar que $ \operatorname {arctg}(x) + \operatorname {arctg}( \frac {1}{x}) = \frac { \pi }{2}$ en los casos en que $x > 0$ ? No necesito soluciones explícitas, más bien palabras clave y apuntes hacia la dirección de un método factible que pueda ayudarme a probar esta igualdad.

Answer 1

Dibuja un triángulo en ángulo recto con los dos lados más cortos que tienen longitud $1$ y $x$ respectivamente. Añadiendo los ángulos obtenemos la igualdad $$ \arctan (x)+ \arctan \left ( \frac {1}{x} \right )+ \frac { \pi }{2}= \pi. $$

Answer 2

Pista: $f' \equiv0\implies f \equiv C$ por alguna constante $C$ .

En este en caso de que sólo necesites encontrar un punto $x_{0}$ s.t puedes calcular $f(x_{0})$ para saber qué $f$ es.

Answer 3

Usar el derivado como sugiere Bélgica es una forma. Otra sería combinar las identidades $$ \begin {aligned} \tan x&= \frac1 { \cot x} \\ \cot x&= \tan ( \frac\pi2 -x) \end {aligned} $$ así como la definición de $ \arctan $ de una manera esperanzadamente indicada. En este caso todos los ángulos involucrados en el cálculo estarán en el primer cuadrante.

Answer 4

Tenemos $ \tan ( \arctan x)=x$ y también $ \tan ( \arctan \frac1x )= \frac1x \iff\cot ( \arctan \frac1x )=x \iff \tan ( \frac\pi2 - \arctan\frac1x )=x$ .

Ahora trata de combinar $ \tan ( \arctan x)=x$ y $ \tan ( \frac\pi2 - \arctan\frac1x )=x$ .