Supongamos que $\forall a\in R, a^2+a\in \operatorname{cent}R$ . Necesidad de demostrar que $R$ es un anillo conmutativo.

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo. Supongamos que $\forall a\in R, a^2+a\in \operatorname{cent}R$ . Necesito demostrar que $R$ es un anillo conmutativo. El autor da una pista; se trata de demostrar que $\forall a,b\in R, ab+ba\in \operatorname{cent}R$ y he demostrado que eso ocurre. Pero no sé cómo proceder. ¿Podría alguien darme una segunda pista? Gracias.

Answer 1

Una vez que haya $ab+ba$ en el centro, tienes $a^2b+aba=aba+ba^2$ para que $a^2b=ba^2$ . Así que $a^2$ se desplaza con $b$ pero $a^2+a$ está en el centro....