Puntos racionales en curvas elípticas y teoría de Galois

Question

Estoy en busca de un ejemplo concreto [de hormigón con una curva elíptica en forma de Weierstrass] de cómo la teoría de Galois ayuda a encontrar puntos racionales de una curva elíptica. Capítulo VI de Silverman y Tate se analiza, por ejemplo, el uno-a-uno homomorphism

$Gal(\mathbb{Q}(C[n])/\mathbb{Q})\to GL_2(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$,

$C[n]$ denota los puntos de la curva elíptica $C$ cuya orden se divide $n$. Se discute también que el campo de la definición de $C[n]$ es una extensión de Galois

$\mathbb{Q}(C[n]):\mathbb{Q}$,

etc. Se puede extraer una ayuda concreta en la búsqueda de puntos racionales de $C$ fuera de esta u otras declaraciones sobre la teoría de Galois?

Answer 1

Lo que has escrito es relevante para la búsqueda racional de torsión puntos de una curva elíptica. Si eso es lo que quieres hacer, la teoría de Galois es ciertamente relevante. Por ejemplo, suponga que tiene una curva elíptica en forma de Weierstrass,

y^2 = f(x)

con f cúbico. Ahora supongamos que usted encuentra que f(x) tiene una relación lineal factor (x-a). (Desde luego que esto de ser un "Galois de la teoría de la" condición f.) Luego de que usted haya encontrado un punto racional de la curva, es decir, (a,0).

La relación entre la teoría de Galois y los puntos del infinito de la orden es más sutil, la participación de Galois cohomology, y se discute en el capítulo 10 de Silverman el libro de La Aritmética de Curvas Elípticas.

Answer 2

En este ejemplo sólo puede ser seguro que hay no hay cuestiones de orden racionales dividiendo n ya que el grupo de Galois no arregla los puntos n-torsión. Sin duda, siempre puede encontrar racional puntos de orden n si usted sabe la imagen del homomorfismo h mencionado (por lo menos, se puede contar). Solo debe buscar los elementos de $(\mathbb Z/n \mathbb Z)^2$ se fijan en esta imagen.