Un indescomponible $\mathbf{Z}$ módulo cuyo casco inyectiva no es indescomponible

Question

Me gustaría encontrar un indescomponible $\mathbf{Z}$ módulo cuyo casco inyectiva no es indescomponible, y estoy quedando sin ideas:

El sólo indescomponible $\mathbf{Z}$ módulos sé $\mathbf{Z}$, $\mathbf{Q}$ (que es el casco inyectivo de $\mathbf{Z}$), $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$, $\mathbf{Z}(p^\infty)$ (que es el casco inyectivo de $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$).

Todos estos tienen cascos inyectivo indescomponible, así que realmente no sé qué hacer. ¿Alguien tiene una idea?

Answer 1

Respuesta corta: Entre muchos ejemplos, el $p$-ádico enteros son un buen ejemplo.

Se han encontrado todos indecomposable inyectiva módulos. A través de una conmutativa noetherian anillo, el indecomposable injectives están en una correspondencia uno a uno con el primer ideales, $\mathfrak{p} \mapsto E(R/\mathfrak{p})$. Para $R=\mathbb{Z}$ el primer ideales corresponden al primer enteros positivos $p$ y 0, y como usted ha mencionado el inyectiva hull $E(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}(p^\infty)$ son los Prüfer grupos y la inyectiva casco de $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z}$$E(\mathbb{Z})\cong \mathbb{Q}$.

Un teorema de Kulikov muestra que la única indecomposable no torsiones abelian grupos son los subgrupos de la Prüfer grupos, es decir, $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}(p^\infty)$ sí (todos los no-torsiones grupo contiene uno de estos como un sumando directo).

Por lo tanto usted está buscando una torsión libre de abelian grupo que no está en el rango de uno", pero sin embargo, es indecomposable. Un buen ejemplo de esto es el grupo aditivo $p$-ádico enteros. Es indecomposable, pero su inyectiva casco es la suma directa de una cantidad no numerable de copias de $\mathbb{Q}$. Esta muestra en particular, que el número de sumandos directos de un subgrupo pueden ser muy diferentes.

Si usted tiene problemas de verificación de la $p$-adics $J$ son indecomposable, a continuación, escriba $J=A\oplus B$ y considerar la posibilidad de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \cong J/pJ \cong A/pA \oplus B/pB$, por lo que debemos tener $A=pA$ o $B=pB$ $p$- divisible. Sin embargo, si $A =pA$$a=pa_1 =p^2a_2 = p^n a_n$, pero el único elemento de la $p$-adics que es divisible por $p$ infinitamente a menudo es $a=0$. Por lo tanto $A=0$, e $B=J$ es indecomposable.