Teorema fundamental de la aritmética: ¿por qué mayor que 1?

Question

El teorema, como la wikipedia de los estados, es

Cada número entero mayor que 1[nota 1] o bien es primo o es el producto de los números primos, y que este producto es único.

Tiene una nota que tal vez 1 puede ser incluido, pero aún así "cuidado" sobre 1, y a menudo me veo sin una nota.

¿Por qué excluir a 1? 1 por supuesto, es el producto formado por el conjunto vacío, que es la única posible descomposición en factores primos de 1 y no contiene nada que no sea un número primo, así que este parece bien a mí.

Answer 1

Me alegro de que usted entiende el concepto del vacío del producto. No todo el mundo lo hace. De Wikipedia, a pesar de sus muchos, muchos defectos (leer Wikipediocracy en algún momento), al menos reconoce que esto tiene que ser atontada por el público en general, tiene que ser menos sofisticados. Algunas personas tienen problemas con la idea de un único número entero de ser un producto de un número entero, ¿cómo pueden entender un entero ser el producto de ningún enteros?

Esta es la razón por la que dice el artículo "es primo o es el producto de los números primos" en lugar de "todo entero positivo es un producto de números primos." 2 es el producto de una sola prima, en sí mismo, mientras que el 1 es el producto de no primos. Usted entiende que, y yo lo entiendo. Pero si usted está escribiendo para alguien que no necesariamente podrían entender estas "sutilezas" mudo hacia abajo.

Usted también tiene que considerar la historia del sujeto. 1 no ha sido nunca un número primo, pero llevó a los matemáticos de un largo tiempo para reconocer esto. En la explicación de una única factorización de dominio, usted tiene que mantener en mente que algunas personas pueden no saber que 1 es realmente una unidad, no un primo.

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También, y yo no soy ni el primero ni el último en decir esto, pero muchas personas tienen la idea de que la única factorización es algo que necesita protección. Es cierto que, en un sentido, $1^3 \times 2 \times 5$ $(-1)^4 \times 5 \times 2$ son cosas diferentes. Pero ambas expresiones se evalúan para el mismo número y que involucre a los mismos números primos. Las unidades y el orden cambiado, no de los números primos.

Answer 2

Estudio de algunos conceptos básicos de la teoría algebraica de números y la respuesta es simple: $1$ no es ni el primer ni un número compuesto, que es una unidad.

Para utilizar el algoritmo de Euclides (en los anillos, donde puede ser utilizado), que necesita algún tipo de norma función que se asigna a los enteros algebraicos de que el anillo de reales, racionales, enteros positivos. Para utilizar el algoritmo de Euclides en $\mathbb{Z}$ (que consta de los números enteros positivos y negativos, y $0$), la opción obvia de la función es la función valor absoluto.

Si $m$ es un número entero distinto de cero y $p$ es un número primo, entonces $|p| < |mp|$$|m| < |mp|$, y está claro rodar sus ojos en mí y diciendo: "duh!" Pero $|m| = |1m|$. Esto también es cierto para $-1$.

Esto no hace nada para cambiar si es o no el anillo único de la factorización o no. ¿Cómo se puede factorizar $-49$? Fácil: $(-1) \times 7^2$. O se podría decir $(-7) \times 7$, lo mismo.

Es mejor que decir

En una única factorización de dominio, cada uno distinto de cero no-número de unidad es el único producto de números primos sin importar el orden o la multiplicación por unidades.

Answer 3

$1$ no es ni un primer ni un número compuesto y no se puede expresar como el producto de cualquier número compuesto o primer. Sólo puede ser expresado como el producto de infinito $1$ que no es único.

Answer 4

Está conformada por todas las $1$ es (producto de) múltiples $1$s que destruirían la representación (factorización) del producto de todos números enteros si se incluyeron $1$ en su factorización. Por ejemplo, si $1 = 1 \cdot 1 \cdots 1$, entonces el $10 = 2 \cdot 5 \cdot 1 \cdot \cdots 1$ que no sería único.