la forma tautológica 1

Question

Mi pregunta se refiere a p317-p318 de John Lee "Introducción a Lisa Colectores" la discusión acerca de la tautológica 1 formulario.

En la Proposición 12.24, tenemos la expresión:

$\tau_{(x, \xi)} = \pi^* (\xi_i dx^i) = \xi_i dx^i $

Aquí $\tau_{(x, \xi)} \in T^*_{(x, \xi)}(T^*Q)$$\xi_i dx^i \in T^*_x Q$. ¿Significa esto $\xi_i dx^i$ es en tanto $ T^*_x Q$$T^*_{(x, \xi)}(T^*Q)$ ?

Además, tengo algunas preguntas ya que estoy un poco confundido acerca de la notación:

Si tenemos un punto de $p$ en un colector $M$, y un vector tangente $v \in T_pM$, su estándar de coordenadas para $TM$ está dado por el par $(p, v)$. ¿Cuál es su estándar de coordenadas en $TTM$? es $(p, v)$?

Del mismo modo, para un punto de $q \in Q$ sobre el suave colector $Q$ con su covector $\varphi \in T^*_q Q$, tenemos el estándar de las coordenadas de $T^*Q$$(q, \varphi)$. A continuación, son el estándar de las coordenadas en la $T^*(T^*Q)$$(q, \varphi)$ ?

Answer 1

Es cierto que $\xi_i \, dx^i$ es en tanto $T_x^\ast Q$$T^\ast_{(x,\xi)} T^\ast Q$. Localmente, en un barrio de la $U$$(x, \xi) \in T^\ast Q$, usted tiene paquete de gráficos de la forma$U \times \Bbb R^{2n}$$T^\ast (T^\ast Q)$. Las coordenadas en el $U$ parte de la carta acaba de ser las coordenadas $(x_1, \dots, x_n, \xi_1, \dots, \xi_n)$$T^\ast Q$. Habrá un $2n$ coordenadas en la "dirección de la fibra" $\Bbb R^{2n}$$T^\ast (T^\ast Q)$, sin embargo. Por lo tanto, las coordenadas locales para $T^\ast Q$ $T^\ast (T^\ast Q)$ no son exactamente los mismos ($T^\ast (T^\ast Q)$ tiene más de coordenadas).

Lo mismo ocurre incluso con la cotangente del paquete de $T^\ast Q$ (o cualquier paquete en todo $Q$). Podemos tomar un pequeño suficiente vecindario $U \subset Q$ con coordenadas $(x_1, \dots, x_n)$, y hay un gráfico de $T^\ast Q$ de la forma $U \times \Bbb R^n$ con coordenadas $(x_1, \cdots, x_n, \xi_1, \dots, \xi_n)$. El $x_i$ coordenadas en ambos $Q$$T^\ast Q$, pero el $\xi_i$ coordenadas (en la "dirección de la fibra") no están en $Q$.