Energías electrónicas de Ion Molecular de Hidrógeno $H_2^{+}$
$r_1$ es la distancia entre el protón $1$ y el electrón.
$r_2$ es la distancia entre el protón $2$ y el electrón.
$R$ es la distancia entre los dos protones, parámetro fijo en Nacido Oppenheimer aproximación.
Schrödinger, Ecuación:
$$ \hat{H} \Psi = E_{el} \Psi $$
$$ -\frac{{\manejadores}^2}{2 m_e} \Delta \Psi -\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\right)\Psi = E_{el} \Psi $$
Unidades Atómicas:
$$ a_0=\frac{4 \pi \varepsilon_0 \manejadores^2}{m_e e^2} = 0.5291 *10^{-10} m $$
$$ E_h=\frac{\manejadores^2}{m_e a_0^2}=27.21 eV $$
$$ \Delta \Psi + \frac{2}{a_0}\left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\right)\Psi=-2 \frac{E_{el}}{E_h a_0^2} \Psi $$
Presentamos el adimentional parámetros de $ r= \frac{R}{a_0} $ $ \varepsilon = \frac{E_{el}}{E_h} $
Elíptica sistema de coordenadas:
$ \xi = \frac{r_1 + r_2}{R} $ , $ \eta=\frac{r_1 - r_2}{R} $ y $ \phi $ es el ángulo entre el vector de posición del electrón y el $xy$ plano.
El operador Laplaciano será:
$$ \Delta =\frac{4}{R^2 (\xi^2 - \eta^2) } \left[\frac{\partial }{\partial \xi} (\xi^2 -1)\frac{\partial }{\partial \xi}+\frac{\partial }{\partial \eta} (1-\eta^2)\frac{\partial }{\partial \eta}+\frac{\xi^2 - \eta^2}{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\frac{\partial^2 }{\partial \phi^2}\right] $$
a continuación, se obtiene:
$ \left[\frac{\partial }{\partial \xi} (\xi^2 -1)\frac{\partial }{\partial \xi}+\frac{\partial }{\partial \eta} (1-\eta^2)\frac{\partial }{\partial \eta}+\frac{\xi^2 - \eta^2}{(\xi^2-1)(1-\eta^2)}\frac{\partial^2 }{\partial \phi^2}\right] \Psi + 2r\xi \Psi = - \frac{1}{2} r^2\varepsilon (\xi^2 - \eta^2)\Psi $
Podemos separar las variables de uso de $ \Psi = \Xi_{\xi} H_{\eta} \Phi_{\phi} $, por lo que podemos obtener tres independiente de ecuaciones diferenciales:
$$ \frac{\partial }{\partial \xi} (\xi^2 -1)\frac{\partial \Xi }{\partial \xi} + \left(2r\xi+A+\frac{1}{2}r^2 \varepsilon \xi^2 - \frac{\Lambda^2}{\xi^2-1}\right)\Xi=0 $$
$$ \frac{\partial }{\partial \eta} (1-\eta^2)\frac{\partial H }{\partial \eta} + \left(-A-\frac{1}{2}r^2 \varepsilon \eta^2 - \frac{\Lambda^2}{1-\eta^2}\right)H=0 $$
$$ \frac{\partial^2 \Phi }{\partial \phi^2} = - \Lambda^2 \Phi $$
donde a es un parámetro de separación y $ \Lambda \in \mathbb{N} $
centrándonos en el primero podemos dividir ambos bembers para $ \Xi $ y hacer esta sustitución: $ f_{\xi} =- \frac{1}{\Xi} \frac{\partial \Xi}{\partial \xi} $ la obtención de esta nueva ecuación diferencial:
$$ 2 \xi f + (\xi^2-1)(f'+f^2)-\left(2r\xi+A+\frac{1}{2}r^2 \varepsilon \xi^2 - \frac{\Lambda^2}{\xi^2-1}\right)=0 $$
y a partir de ahora no sé cómo mover. Hay alguien que sabe cómo resolver numéricamente la ecuación? Muchas gracias
