'Diagonalización de Jordania bloque

Question

Sabemos que el bloque de Jordan $$J = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & \lambda \end{bmatrix}$$

Demostrar que existe una invertible $\bf{S}$ tal que $$\bf{SSJ^{-1}} = \begin{bmatrix} \lambda & \varepsilon & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & \varepsilon\\ & & & \lambda \end{bmatrix}$$ con cualquier valor distinto de cero $\varepsilon$.

No tengo idea de cómo construir el $\bf{S}$, o cómo 'diagonalize' el Jordán bloque. Alguien podría darme algunos consejos? Gracias de antemano!

Answer 1

Tomar $$S=\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots&0\\0&\varepsilon^{-1}&0&\cdots&0\\0&0&\varepsilon^{-2}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&\varepsilon^{-(n-1)}\end{bmatrix}$$ (where $n$ is such that $J$ is a $n\times n$ matrix). Then $$SJS^{-1}=\begin{bmatrix}\lambda&\varepsilon&0&\cdots&0\\0&\lambda&\varepsilon&\cdots&0\\0&0&\lambda&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&\lambda\end{bmatrix}.$$

Answer 2

Por el teorema de la forma normal de Jordan, si $A\in k^{n\times n}$ es triangulable y $B\in k^{n\times n}$, $A$ $B$ son semejantes si y sólo si $\dim\ker (A-\lambda I)^m=\dim\ker (B-\lambda I)^m$ todos los $m\in\Bbb N$, y para todos los $\lambda\in k$.

Esto es fácil de aplicar a este caso, debido a que $J_\varepsilon-\lambda I=\varepsilon(J-\lambda I)$, mientras que $J_\varepsilon-\mu I$ $J-\mu I$ son tanto invertible al $\mu\ne \lambda$.

El mismo lema y en algunos cálculos demuestran que un superior triangular de la matriz es similar a $J$ si y sólo si, para todo $i$, $a_{i,i}=\lambda$ y $a_{i,i+1}\ne 0$.