Una pregunta acerca de la convolución de dos distribuciones

Question

En general,cuando se toma la convolución de dos distribuciones de,al menos, uno de los cuales se supone debe ser de tamaño compacto.

Pero cuando u,$v\in S'(\mathbb{R})$ ( templado distribuciones) han suports en el positivo de la mitad del eje,a continuación, $u\ast v \in S'(\mathbb{R})$

cómo probar esto y generalizar a dimensiones alto?

Answer 1

Ya que esta es la tarea, yo probablemente no debería escribir una solución completa. Pero vamos al menos escribir una definición de la convolución lo suficientemente general como para la situación descrita anteriormente (sacado de mis apuntes de clase del curso de "Distribución et équations aux derivées partiélles" por André Cérezo):

Théorême Soient $S,T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$, $F=(\operatorname{supp} S_x)\times(\operatorname{supp} T_y)\subset \mathbb{R}^{2n}$, et $\Delta=\{ (x,-x)|x\in \mathbb{R}^n\}\subset \mathbb{R}^{2n}$. Supposons que, pour tout $K\Subset\mathbb{R}^n$, le cerrado $(K\times\{0\}+\Delta)\cap F$ soit de la onu compacto de $\mathbb{R}^{2n}$. Alors la formule $$(*)\qquad\forall \varphi\in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\qquad <S*T,\varphi>=<S_x\otimes T_y,\varphi(x+y)>$$ définit une distribución sur $\mathbb{R}^n$, appelée "produit de convolución" de $S$ et $T$.

Aquí $K\Subset\mathbb{R}^n$ significa que $K$ es compacto. Tenemos $\mathcal{S}'(\mathbb R)\subset\mathcal{D}'(\mathbb R)$, así que el primer paso es verificar la condición adicional. Esto nos da $u*v\in\mathcal{D}'(\mathbb R)$. Ahora todo lo que queda por demostrar es $u*v\in\mathcal{S}'(\mathbb R)$.

Editar (el de la traducción del citado teorema)

Teorema Vamos a $S,T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$, $F=(\operatorname{supp} S_x)\times(\operatorname{supp} T_y)\subset \mathbb{R}^{2n}$, y $\Delta=\{ (x,-x)|x\in \mathbb{R}^n\}\subset \mathbb{R}^{2n}$. Asumir que todos los $K\Subset\mathbb{R}^n$, el conjunto cerrado $(K\times\{0\}+\Delta)\cap F$ siempre es compacto. Entonces la fórmula $$(*)\qquad\forall \varphi\in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)\qquad <S*T,\varphi>=<S_x\otimes T_y,\varphi(x+y)>$$ define una distribución en $\mathbb{R}^n$. Es el llamado "convolución" de $S$$T$.