En lo que sigue, asumo que todos los esquemas son noetherianos y de tipo finito.
De la propiedad universal se deduce que se puede calcular el desbordamiento de una gavilla ideal coherente $\mathscr{I}$ en un esquema $X$ Zariski a nivel local. Es decir, tomando un barrio Zariski $i : U \hookrightarrow X$ tenemos $\text{Bl}_U(i^{-1}\mathscr{I})$ es (isomorfo a) un subesquema abierto de $\text{Bl}_X(\mathscr{I})$ .
Mi pregunta es, ¿se cumple lo anterior étale localmente? En otras palabras, tomando una cubierta étale de $X$ tirando hacia atrás de la gavilla ideal hasta esta cubierta, puedo calcular la ampliación de la cubierta. ¿Será ésta una cubierta étale para el desbordamiento $\text{Bl}_X(\mathscr{I})$ ? He intentado buscar pero no encuentro a nadie que responda (o formule) esta pregunta.
