Encontrar $(\sin x)^7$, reducido en términos específicos

Question

$(\sin x)^7 = a\sin 7x+b\sin 5x+c\sin 3x+d\sin x$. Encontrar $d$. $x$ es un ángulo, y $a, b, c, d$ son todas constantes.

¡No estoy seguro de dónde empezar! La única idea que tengo es posible rotura $(\sin x)^7$ en partes más pequeñas como por ejemplo $(\sin x)^2 (\sin x)^2 (\sin x)^3$.

Consejos, por favor.

Answer 1

Sugerencia. Usando el fórmula de Euler y cosas relacionadas, $$ \eqalign {(\sin x) ^ 7 & = \Bigl (\frac {e ^ {ix}-e ^ {-ix}} {2i} \Bigr) ^ 7\cr & = \cdots\quad\langle\hbox{expand por teorema binomial} \rangle\cr & = \frac {1} {(2i) ^ 7} (e ^ {7ix}-e ^ {-7ix} + \langle\hbox {mas términos} \rangle) términos de \cr & \frac{1}{64}\sin7x+\langle\hbox{more =} \rangle. \cr}$$ ver si pueden hacer el resto.

Answer 2

Hemos de hacer mucho más sencillo el problema, que puede ser un paso en la solución de su problema. La clave es el producto de la suma de la fórmula $$\sin a\cos b=\frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}.\tag{1}$$ También utilizamos el ángulo doble fórmula $$\sin^2 x=\frac{1-\cos(2x)}{2}.\tag{2}$$

Ahora hacemos la $(\sin x)^3$. Esto es $\frac{\sin x}{2}-\frac{\sin x\cos 2x}{2}$. Ahora la fórmula (1) da $\frac{\sin x}{2}-\frac{1}{4}\left(\sin(3x)+\sin(-x)\right)$, lo que se simplifica a $$\frac{1}{4}\left(3\sin x-\sin(3x)\right).\tag{3}$$

Para $(\sin x)^5$, multiplicar nuestra expresión por $\sin^2 x$, es decir, el lado derecho de (2), y el uso de la suma del producto de nuevo.

Luego viene la $(\sin x)^7$.

Nota: los números Complejos son la cosa correcta a utilizar. Pero el dibujo de arriba muestra que esto puede hacerse utilizando el estándar de identidades trigonométricas. Sin embargo, estas identidades trigonométricas celebrar "porque" de la más natural hecho de que $\exp(w)\exp(z)=\exp(z+w)$.