Fue Fourier quien estudió por primera vez lo que hoy se conoce como expansiones espectrales para resolver su ecuación del calor. Para resolver una ecuación de calor como $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+qu, $$ donde $q$ es una función de fuente o sumidero de calor, Fourier utilizó la separación de variables y, esencialmente, descubrió que podía encontrar funciones propias del lado derecho (no es el lenguaje de Fourier) $u_{\lambda}$ con valor propio $\lambda$ para reducir el problema a combinaciones lineales discretas y continuas de funciones propias $$ u(t,x) = \sum_{n} a_{n}e^{-\lambda_{n} t}f_{\lambda_{n}}(x)+\int b(\lambda)e^{-\lambda t}f_{\lambda}(x)d\lambda. $$ El problema vino en cómo determinar los coeficientes $a_{n}$ y $b(\lambda)$ para que coincida con la distribución inicial de la temperatura $u(t,x)=g(x)$ $$ g(x) = \sum_{n}a_{n}f_{\lambda_{n}}(x)+\int b(\lambda)f_{\lambda}(x)d\lambda. $$ Cauchy y otros identificaron correctamente los parámetros adecuados $\lambda$ en las sumas e integrales como singularidades del operador resolvente $(L-\lambda I)^{-1}$ , donde, en este caso, $$ Lf = f''+qf. $$ Poco a poco se comprendió que se podía negociar la singularidad del resolvente en $\infty$ , digamos que $$ -\lim_{\lambda\rightarrow\infty}\lambda(L-\lambda I)^{-1}=I, $$ para las integrales alrededor de todas las demás singularidades en el plano finito. La identidad $I$ en un lado de la ecuación, y las integrales alrededor de todas las singularidades finitas en el otro lado de la ecuación. Ese es el teorema de expansión requerido.
Los residuos de los polos darían lugar a una serie discreta, y podría haber una componente continua, normalmente en forma de rama cortada en el eje real. Esto llevaría a las expansiones necesarias $$ \begin{align} f = If & = \sum_{n}\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{n}}\frac{1}{(\lambda I -L)}f \\ & + \lim_{\delta\downarrow 0}\int_{a}^{b}\frac{1}{(u-i\delta)I-L}-\frac{1}{(u+i\delta)I-L}f\,du \end{align} $$ Se tardó mucho tiempo en llegar a ese punto final, pero se consolidó la teoría de operadores como la herramienta adecuada para estudiar esas expansiones. E hizo que el análisis complejo del operador resolvente $(\lambda I-L)^{-1}$ a través de sus singularidades la herramienta fundamental de la Teoría Espectral.
Espectro $\sigma=\sigma(L)$ se define ahora como el conjunto de singularidades del resolvente. Se piensa que el espectro continuo da lugar a expansiones continuas, y el espectro discreto a sumas de términos de expansión. Y la suma de todas esas singularidades se sumará a la identidad $I$ que es el residuo en $\infty$ . Esa es la intuición, pero los detalles son, por supuesto, feroces. Y la mayoría de las veces, las expresiones limitadoras de forma cerrada y las expansiones no funcionan tan bien a menos que $L$ es autoconjunto. Los operadores autoconjuntos tienen la peculiaridad de que los polos son de orden 1 porque $$ \|(\lambda I-L)^{-1}\| = \frac{1}{\mbox{dist}(\lambda,\sigma)}. $$ Para los operadores acotados $L$ Siempre es cierto que $\lim_{\lambda\rightarrow\infty}\lambda(\lambda I-A)^{-1}=I$ . Esto se vuelve complicado para los no limitados. Los operadores generales son difíciles de estudiar completamente con estos métodos. Pueden aparecer polos de orden superior para el resolvente, correspondientes a subespacios cíclicos de tipo Jordan. A veces el espectro es un solo punto (por ejemplo, quasinilpotente) y este método no da nada. Las complicaciones abundan. Pero es lo suficientemente bueno para darte el Teorema Espectral completo para operadores lineales autoadjuntos acotados y no acotados.
