Prueba de divisibilidad con modulo

Question

Tener tres números enteros a, b, n puedo demostrar $n|(a-b)$ simplemente demostrando que $(a-b)\equiv 0\pmod n$.

Por ejemplo, para demostrar que $11|(15^{11}-13^{11}-2^{11})$ podemos proceder como sigue

$$\begin{split} (15^{11}-13^{11}-2^{11}) &\equiv (15-13-2) \pmod {11} \quad \text{Fermat's little theorem}\ 15-13-2 &= 0 \end{dividido}$$

prueba de $(15^{11}-13^{11}-2^{11})\equiv 0\pmod {11}$ $11|(15^{11}-13^{11}-2^{11})$

¿Es correcto?

Answer 1

Es perfectamente correcto; me gustaría escribir $15-13-2\equiv0\pmod{11}$ para ir junto con el argumento. Funcionaría de la misma si, en lugar de $15$, usted tiene $26$ o $4$.

Por cierto, puede resultar aún más: ¿para qué número entero positivo $n$ hace $$11\mid (15^n-13^n-2^n)$$ sostenga? Bueno, esto es lo mismo que decir $$4^n-2\cdot2^n\equiv0\pmod{11}$$ que se convierte en $$4^n\equiv2\cdot2^n\pmod{11}$$ y, dividiendo por $2^n$ (lo cual es posible demostrarlo), $$2^n\equiv 2\pmod{11}$$ o de nuevo $$2^{n-1}\equiv 1\pmod{11}$$ Ahora$2^2\not\equiv1$$2^5\not\equiv1$; por lo tanto, la multiplicación de la orden de $2$ modulo $11$ se $10$ ( tiene que ser un divisor de a $10$). Entonces llegamos a la conclusión de que $n-1$ tiene que ser un múltiplo de $10$.