La existencia de una función de Lyapunov es una condición necesaria y suficiente para la estabilidad de los sistemas dinámicos, en el sentido de Lyapunov.
Puedes empezar con una función de Lyapunov candidata $V(x,y)=(x^2+y^2)/2$ . Su derivada de Lie a lo largo de la dinámica del sistema da como resultado \begin {equation*} \dot {V}(x,y)=x f(x)+xy+yg(x)=xf(x)+y(g(x)+1), \end {equation*} donde $\dot{V}$ representa el producto interior entre el gradiente de $V$ y el campo vectorial Para garantizar que $\dot{V}$ es una función definida negativa, se puede suponer que $f$ no tiene límites, y satisface $xf(x)<0$ para cada $x\in\mathbb{R}$ y $f(x)\Leftrightarrow x=0$ . En cuanto a $g$ se puede suponer que existe una función $\alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que, para cada $y\in\mathbb{R}$ , $y\alpha(y)<0$ y $\alpha(y)=0\Leftrightarrow y=0$ y para cada $x\in\mathbb{R}$ , $g(x)+1\leq \alpha(y)$ .
Tenga en cuenta que los supuestos anteriores dependen de la función de Lyapunov candidata que haya elegido.
Si se quiere considerar sólo la ecuación diferencial en sí, se puede empezar con una condición necesaria relativa a la estabilizabilidad de la $x$ -subsistema:
- si $y=0$ entonces 0 es asintóticamente estable para el sistema $\dot{x}=f(x)$ . De lo contrario, siempre que $g(x)=0$ y $f(x)\neq0$ No hay nada que puedas hacer.
Puede encontrar más información en el libro Khalil, Nonlinear Systems.
