¿Cómo puedo encontrar x?

Question

Me pide evaluar %#% $ de #% supongo que $$\sqrt[3]{-i}$ $\sqrt[3]{-i}=(a+bi)$ $$$\implies (a+bi)^3=-i$ $$$\implies \Im \left( (a+bi)^3 \right) =\Im \left( (-i) \right)$ $Now ¿cómo voy a encontrar $$\implies 3a^2b-b^3=-1$, $a$? ¿No son allí infinitamente de ellos en lugar de sólo tres?

Answer 1

Vamos a empezar como lo hizo:
$\sqrt [3] {-i}= a+bi$
$-i=(a+bi)^3$
$-i=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i$

Por lo tanto, tenemos $2$ ecuaciones:
$a^3-3ab^2=0 \ \ \ \ldots(1)$
$3a^2b-b^3=-1 \ldots (2)$

La solución para $(1)$:
$a(a^2-3b^2)=0$
$\therefore a(a-b\sqrt3)(a+b\sqrt 3)=0$

Así:
$a=0$
$a=b\sqrt3$
$a=-b\sqrt 3$

La solución para $(2)$:
$3a^2b-b^3=-1$

Al $a=0$:
$-b^3=-1$
$b^3=1$
$b=1$

Al $a=\sqrt {3b^2}$:
$9b^3-b^3=-1$
$b^3=-\frac 18$
$b=-\frac 12$
$\therefore a=\frac{\sqrt 3}2$

Al $a=-\sqrt {3b^2}$
$9b^3-b^3=-1$
$b^3=-\frac 18$
$b=-\frac 12$
$\therefore a=-\frac{\sqrt 3}2$

Por lo que su $3$ soluciones son:
$(a,b)=(0,1);(\frac{\sqrt 3}2,-\frac 12);(-\frac{\sqrt 3}2,-\frac 12)$

Sinceramente espero que esto le ayuda a comprender por qué sólo hay $3$ soluciones sin mencionar el teorema fundamental del álgebra. Buena suerte!

Answer 2

Usted puede resolver este como \begin{equation} (-i)^{\frac{1}{3}} = ( e^{i \frac{3\pi}{2} + i2k\pi})^{\frac{1}{3}} \end{equation} lo que nos da tres distintas raíces $e^{i z_k}$$k = 0,1,2$, donde \begin{align} z_0 &= \frac{1}{3}\frac{3\pi}{2} + \frac{2(0)\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \\ z_1 &= \frac{1}{3}\frac{3\pi}{2} + \frac{2(1)\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} \\ z_2 &= \frac{1}{3}\frac{3\pi}{2} + \frac{2(2)\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} \\ \end{align} Si usted insiste en la solución de su camino, luego \begin{equation} (a+bi)^3 = -i \end{equation} significa \begin{equation} a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - b^3i = -i \end{equation} lo que significa que \begin{align} a^3 - 3ab^2 &= 0 \\ 3a^2b - b^3 &= -1 \end{align} que es \begin{align} a^2 - 3b^2 &= 0 \\ 3a^2b - b^3 &= -1 \end{align} o \begin{align} (a - \sqrt{3} b)(a + \sqrt{3} b) &= 0 \\ 3a^2b - b^3 &= -1 \end{align} La primera ecuación sugiere ya sea \begin{equation} a = \pm \sqrt{3} b \end{equation} Sustituyendo esto en la segunda ecuación nos da \begin{equation} 3(\sqrt{3} b)^2b - b^3 = -1 \end{equation} que es \begin{equation} 9b^3 - b^3 = -1 \end{equation} es decir, \begin{equation} b = -\frac{1}{2} \end{equation} Esto nos dará \begin{equation} a = \pm \sqrt{3} (-\frac{1}{2}) \end{equation} lo que significa que se obtienen dos soluciones \begin{align} (a_1,b_1) &= (-\sqrt{3},-\frac{1}{2}) \\ (a_2,b_2) &= (\sqrt{3},-\frac{1}{2}) \\ \end{align} que son en realidad lo que hemos encontrado antes, es decir, \begin{align} a_1 + ib_1 &= e^{i z_1} \\ a_2 + ib_2 &= e^{i z_2} \\ \end{align} A continuación, tiene una raíz más que usted necesita para encontrar (que es la más obvia), donde$a_0 = 0$$b_0 = 1$, es decir,$i^3 = -i$. También, usted puede comprobar que \begin{align} a_0 + ib_0 &= e^{i z_0} \end{align}

Answer 3

Cuando usted toma la parte real en cada lado, se obtiene otra ecuación. No creo que es la mejor manera de abordar el problema, sin embargo. Creo que es mejor:

$$z^3=-i$$

Entonces sabemos que la magnitud de $z$$1$, y el ángulo es tal, que cuando se multiplica por 3 se encuentra en $\frac{3\pi}{2}+2k\pi, k\in \text{Z}$ (esta es la que apunta hacia abajo). Los ángulos posibles son:

$$\frac{\pi}{2}+\frac{2k\pi}{3}$$

Así que toma los casos de $k=0, k=1 $ $k=2$ y ya está, porque entonces los ángulos de inicio de bucle (sólo la adición de $2\pi$). Las soluciones son:

$$z=Cos(\frac{\pi}{2}+\frac{2k\pi}{3}) + iSin(\frac{\pi}{2}+\frac{2k\pi}{3}), k\in\text{{0,1,2}}$$

Answer 4

Sugerencia o: las raíces cubo de $\,-i\,$ son las soluciones al $\,z^3=-i \iff z^3+i=0\,$. Con que $\,i = -i^3\,$ y el % de identidad $\,a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,$, la última ecuación puede ser escrita como:

$$ 0 = z ^ 3 + i = z^3-i^3=(z-i) (z ^ 2 + iz + i^2)=(z-i)\big(-(iz)^2+iz-1\big) $$

El primer factor da la solución (obvio) $\,z=i\,$, y el segundo factor es una cuadrática real en $\,iz\,$ con raíces $\,iz = (1 \pm i \sqrt{3})/2 \iff z = \ldots$

Answer 5

Es más fácil encontrar las raíces cúbicas de -i usando la forma polar.

Tenga en cuenta que $-i = e^{3i\pi /2}$ así las raíces cúbicas son $e^{i\pi/2},e^{i\pi/2+2i\pi/3}, e^{i\pi/2+4i\pi/3}$

Usted puede encontrar fácilmente estas raíces en forma de $a+bi $ si desea hacerlo.