Círculo de punto de par de la línea recta ecuación

Question

En general, $$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$$ represents a circle with centre at $C(-g, f -)$. Ecuaciones de la forma $$ax^2+2hxy+by^2=0$$ representa un par de rectas que pasa por el origen. Pero la ecuación de $2x^2+2y^2+xy=0$ representa sólo un punto de $(0,0)$.

Cuando me vine a saber que no se trataba de un par de la línea recta de la ecuación he intentado esto: $$2x^2+2y^2+xy=2(x+y)^2-3xy=0$$ El uso de AM GM desigualdad, $(x+y)^2\ge 4xy$ $$2(x+y)^2\ge 8xy$$ $$3xy\ge 8xy$$ Que solo es posible si $x=y=0$.

Pero hay una manera fácil de comprobar rápidamente si la ecuación de $ax^2+2hxy+by^2=0$ representa un punto del círculo? Después de todo, he utilizado el método anterior sólo después de saber que no es un par de líneas rectas.

Answer 1

Tomar el $ax^2+2hxy+by^2=0$. Multiplica por el $4a$ $(a\neq 0)$ y completar el cuadrado para obtener la ecuación equivalente $$(2ax+hy)^2+(4ab-h^2)y^2=0

Si $4ab-h^2\gt 0$ entonces ambos términos en el lado izquierdo son no negativos y por lo tanto deben ser cero. Si $4ab-h^2=0$ obtiene la sola línea $2ax+hy=0$ (las dos líneas coinciden para dar un caso degenerado). Y si $4ab-h^2\lt 0$ te dos líneas Factorizando el lado izquierdo como la diferencia de dos cuadrados.

Answer 2

Nota: @MarkBennet resultados me dio una idea de un enfoque alternativo.

Vamos a empezar por asumir que el $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ representan un par de líneas rectas (real/coincidentes/imaginario).

Sustituyendo $\frac{y}{x}=m$ hemos

$\Rightarrow bm^{2}+2hm+a=0$

$m=\frac{-h \pm \sqrt{h^{2}-ab}}{b}$

Volver a conectar $m=\frac{y}{x}$ tenemos dos ecuaciones,

$$by=(-h + \sqrt{h^{2}-ab})x$$ and $$by=(-h - \sqrt{h^{2}-ab})x$$

Estas son las dos líneas representado por la ecuación $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ , y como usted puede ver, tenemos una en la raíz de la expresión de modo que tenemos dos casos.

(i) Las líneas son reales y diferentes si $h^{2}-ab>0$.

(ii)Las líneas son imaginarios si $h^{2}-ab<0$.

Answer 3

Este es un caso especial de lo que se conoce como la formas cuadráticas.

Si reescribir $ax^2+2hxy+by^2=0$ mediante el uso de matrices como $$\left[\matriz{x \\ y}\right)^T \left[\matriz{a & h \\ h & b}\right] \left[\matriz{x \\ y}\right] = 0$$ puede realizar un cambio de variables para el interior de la matriz de vectores propios para conseguir algo en la forma que $$\left[\matriz{x' \\ y'}\right)^T \left[\matriz{d_1 & 0 \\ 0 & d_2}\right] \left[\matriz{x' \\ y'}\right] = 0$$ que se expande a $d_1{x'}^2 + d_2{y'}^2 = 0$

A partir de esto es fácil de ver si se representa un único punto de intersección de dos líneas o una sola línea de los signos de $d_1$ $d_2$ (o si uno es cero).

Si en cambio, había algo distinto de cero a la derecha, en su lugar podría obtener una elipse, una hipérbola, o paralelo dos líneas.

La formas cuadráticas también el trabajo en las dimensiones superiores, pero esta respuesta está consiguiendo de largo como es.
Si usted desea, usted probablemente puede leer más en un estándar de álgebra lineal libro de texto.