He estado trabajando en esto por un tiempo, pero no sé cómo proceder. Aquí es lo que he hecho: Claramente, mi objetivo es mostrar que cada elemento del campo de fracciones en $\Bbb Q((x))$ y para mostrar que no existe un elemento de a $\Bbb Q((x))$ que no es un elemento del campo de fracciones. El problema sugiere considerar la expansión de la serie de $e^x$, de modo que lo hice. Supongo que esa es la sugerencia debido a que $e^x$ es el elemento en $\mathbb{Q}((x))$ que no está en $\text{Frac}(\mathbb{Z}[[x]])$ estoy buscando. Así $$e^x=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$ Desde $n!\in\mathbb{N}$ $\frac{1}{n!}\in \mathbb{Q}$ $e^x\in \mathbb{Q}((x))$ Ahora, aquí es donde yo no puedo ir más allá. He intentado suponiendo que $e^x\in \text{Frac}(\mathbb{Z}[[x]])$ y el uso que debe ser una unidad para lograr una contradicción, pero no sé cómo hacerlo. Cualquier sugerencias? Gracias de antemano
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Escriba $e^x = A/B$ $A,B \in {\mathbb Z}[[x]]$. Suponemos que los términos constantes de $A,B$ no son cero. A continuación, escriba $B = b_0 + b_1 x + \cdots$. Ahora toma $R := {\mathbb Z}[ b_0^{-1} ]$ y $S := R[[x]]$. Entonces $B$ es una unidad en $S$. Así que podemos escribir $A/B = C$ $C \in S$. Pero no podemos escribir $e^x$ como un elemento de $S$.
Supongamos que $e^x\cdot q(x)=r(x)$, $q$ y $r$ $\mathbb{Z}[[x]]$. Si $p$ es un primo, entonces el coeficiente de $x^p$ $e^x\cdot q(x)$ es $$ \sum_{i=0}^p \frac{q_i}{(p-i)!} $ $ $q_i$ Dónde está el coeficiente de $x^i$ $q(x)$. Puesto que esto tiene igual $r_p$, podemos mutiply ambos lados por $p!$ $$ q_0 + p(\cdots)=p!r_p $ $ conseguir divide a que $p$ $q_0$. Desde $p$ era un primer arbitraria, vemos que todos primos dividen $q_0$ y así $q_0=0$. Entonces podemos proceder inductivo para mostrar $q(x)=0$ y así $r(x)=0$ así.
