Demostrar la convergencia de $\sum \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$

Question

¿Cómo se puede demostrar la convergencia de: $ \sum \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n} $ . Estoy bastante seguro, de que esta serie converge, pero no lo hace de forma absoluta $\left( \frac{1}{n+(-1)^n} \approx \frac{1}{n}\right)$ . El criterio de convergencia de Leibniz no se puede utilizar, porque $\left( \frac{1}{n+(-1)^n} \right) $ no es creciente.

Nota: Me he dado cuenta de que barajando los términos de la serie se obtiene $\sum (-1)^n a_n$ , donde $a_n$ es una secuencia no creciente, pero no se permite barajar ya que la serie no converge absolutamente.

Answer 1

\begin {align} \sum_ {k=2}^n \frac {(-1)^n}{n+(-1)^n}&= \frac13 - \frac12 + \frac15 - \frac14 + \frac17 - \frac16 + \cdots\\ &=- \frac12 + \frac13 - \frac14 + \frac15 - \frac16 + \frac17 - \cdots\end {align}y esta serie converge, por el criterio de Leibniz. Este tipo de barajeo es permitido. Por "este tipo" lo que quiero decir es la sustitución de una serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ por $\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}$ donde $\sigma\colon\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb N$ es una biyección tal que el conjunto $\{n-\sigma(n)\,|\,n\in\mathbb{N}\}$ está acotado.

Answer 2

Observe que

$$ \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n} = \frac{(-1)^n}{n} - \frac{1}{n(n+(-1)^n)}.$$

Ahora

• $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ converge por la prueba de series alternas, y
• $ \sum \frac{1}{n(n+(-1)^n)}$ converge por comparación con $\sum \frac{1}{n^2} < \infty$ .

Por lo tanto, su diferencia también converge. También se puede identificar este truco como la siguiente expansión asintótica

$$ \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n} = \frac{(-1)^n}{n\left(1 + \mathcal{O}(n^{-1}) \right)} = \frac{(-1)^n}{n} + \mathcal{O}(n^{-2}) $$

que es sumable.

Answer 3

Tenga en cuenta que $$\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}=\begin{cases}\frac{1}{2k+1}&\text{if $ n=2k $,}\\ -\frac{1}{2k}&\text{if $ n=2k+1 $.}\end{cases}$$ Por lo tanto, $$\sum_{n=2}^{N}\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}= \begin{cases}\sum_{k=2}^{N}\frac{(-1)^{k+1}}{k}+\frac{1}{N}+\frac{1}{N+1}&\text{if $ N $ is even,}\\ \sum_{k=2}^{N}\frac{(-1)^{k+1}}{k}&\text{if $ N $ is odd.}\end{cases}$$ Por lo tanto la serie dada es convergente y es convergente a la misma suma de $\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}$ (convergente por Leibniz): $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}=-1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}=-1+\ln(2).$$

Answer 4

$$\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}<\frac{(-1)^n}{2 n}, \text{ for any }n\in\mathbb{N}\land n\geq 2$$ Como la segunda serie converge para el criterio de Leibniz, también lo hace la primera

Espero que esto ayude

Answer 5

$a_n: \dfrac{(-1)^n}{n+(-1)^n}= $

$\dfrac{(-1)^n}{n+(-1)^n} \dfrac{n-(-1)^n}{n-(-1)^n}=$

$\dfrac{(-1)^nn -1}{ n^2 -1} ;$

$b_n:= \dfrac{n}{n^2-1}=$

$ 1/2(\dfrac{1}{n+1} +\dfrac{1}{n-1});$

$c_n := -\dfrac{1}{n^2-1}.$

$a_n = (-1)^n b_n + c_n.$

Utilizar el criterio de Leibniz para las series alternas

$\sum (-1)^nb_n$ ;

Utilizar la prueba de comparación $(1/n^2)$ para

$\sum c_n .$

Por lo tanto, $ \sum a_n $ convergente.