La identidad de $\tan({\pi\over4}-{a\over2}) = \sec(a)-\tan(a)$

Question

Hoy me fue la resolución de un ejercicio y durante la comprobación de la solución en WolframAlpha, el sitio web utiliza la siguiente identidad: $$\tan \left({\pi\over4}-{\alpha\over2} \right) = \sec(\alpha)-\tan(\alpha)$$ Como yo nunca he visto esa fórmula, traté de calcular con las identidades sé, especialmente el uso de $$\tan \left({\pi\over4}-{\alpha\over2} \right) = {(1-\tan({\alpha\over2}))\over(1+\tan({\alpha\over2}))},$$ pero no pude hacer que funcione.

Es esta una conocida propiedad de la trigonometría, como por ejemplo,$\cos({\pi\over2}-x)=\sin(x)$?

Answer 1

Denotar $\tan(\alpha/2)=t$. Entonces $$ \sin \alpha = \dfrac{2}{1+t^2}, \quad \cos \alpha = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}, \quad \tan \alpha = \dfrac{2}{1-t^2}. $$ Entonces $$ \tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right) = \dfrac{1-t}{1+t} = \dfrac{(1-t)(1-t)}{(1+t)(1-t)} = \dfrac{(1+t^2)-2t}{1-t^2} $$ $$ = \dfrac{1+t^2}{1-t^2} - \dfrac{2}{1-t^2} = \frac{1}{\cos \alfa} - \tan \alpha $$ $$ =\sec\alpha \tan\alpha. $$

Answer 2

La identidad $$ \sec x \pm \tan x = \tan\left( \frac \pi 4 \pm \frac x 2 \right) $$ es que a veces pienso como el "cartógrafos' tangente de la mitad de ángulo fórmula" porque de la manera en la que se plantea en la teoría de la proyección de Mercator, es decir, en encontrar la antiderivada de la función secante. El deseo de encontrar la antiderivada de la función secante vino de su aplicación a la cartografía en la década de los años 1500, y a principios de la década de 1600.

Recordemos que $\sec(\pm x) = \sec x$$\tan(\pm x)=\pm\tan x$, de modo que cuando el signo de $x$ cambios, el signo de $\tan x$ cambios, pero que de $\sec x$ no. O en otras palabras, la secante es aún y tangente es impar.

Desde $x$ aparece en el lado derecho sólo en $\dfrac x 2$, y en el lado derecho sin que dicha fracción, usted debe esperar a probar un medio ángulo fórmula o confiar en uno que ya está demostrado. Recordemos que $$ \tan \frac x 2 = \frac{\sin x}{1+\cos x}. $$ Así \begin{align} & \tan\left( \frac \pi 4 \pm \frac x 2 \right) = \frac{\sin\left( \frac \pi 2 \pm x \right)}{1+\cos\left(\frac\pi2 \pm x\right)} = \frac{\cos x}{1\mp \sin x} = \frac{(\cos x)(1\pm\sin x)}{(1\mp\sin x)(1\pm\sin x)} \\[10pt] = {} & \frac{(\cos x)(1\pm\sin x)}{1-\sin^2 x} = \frac{(\cos x)(1\pm\sin^2 x)}{\cos^2 x} = \frac{1\pm\sin x}{\cos x} = \frac 1 {\cos x} \pm \frac{\sin x}{\cos x} \\[10pt] = {} & \sec x \pm \tan x. \end{align}

Answer 3

He aquí un par de trigonographs:

$$\begin{align} \sec\theta - \tan\theta \;=\; \tan\phi \;=\; \tan\frac{90^\circ - \theta}{2} \;=\; \tan\left( 45^\circ - \frac{\theta}{2}\;\right) \\[4pt] \sec\theta + \tan\theta \;=\; \tan\psi \;=\; \tan\frac{90^\circ + \theta}{2} \;=\; \tan\left( 45^\circ + \frac{\theta}{2}\;\right) \end{align}$$

Answer 4

Sí.

Wikipediaestados $$\tan x + \sec x = \tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$$ Re-organización, podemos resolver para $\sec x$: $$\sec x = \tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) - \tan x = \overbrace{\tan x + \tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)}^{\text{Your identity}}$$ Sabemos que debido a $\tan x$ es una función impar, $$\tan (-x) = - \tan x \to \tan\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=-\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)$$ A continuación, debería ser posible para demostrar su identidad, a través de sólo un par de pasos más: $$\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+\tan\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=2\tan x$$

La identidad también aparece en Cayley la explicación de la integral de $\sec x$.

Answer 5

Deje $a=2\theta$, y escribir $s=\sin\theta$ $c=\cos\theta$ por conveniencia. Entonces

$$\sec2\theta-\tan2\theta={1\over c^2-s^2}-{2sc\over c^2-s^2}={s^2+c^2-2sc\over c^2-s^2}={c-s\over c+s}$$

mientras

$$\tan\left({\pi\over4}-\theta\right)={1-\tan\theta\over1+\tan\theta}={c-s\over c+s}$$