Un ejercicio en mi curso de álgebra libro pide probar que si $R$ es un PID, a continuación, $R[[x]]$ es un UFD, donde $R[[x]]$ es el anillo de poder formal de la serie sobre $R$.
Después de algunos intentos fallidos a probar la ACC visité la Wikipedia, que los comentarios:
Si $R$ es Noetherian, entonces también lo es $R[[x]]$; esta es una versión de Hilbert teorema de la base.
Esto es muy útil, como $R$ es un PID y por lo tanto Noetherian. Por desgracia, sólo vimos (sin pruebas) de Hilbert teorema de la base en forma
Si $R$ es Noetherian, entonces también lo es $R[x]$.
No estoy seguro de cómo concluir la Noetherianity de $R[[x]]$ a partir de este. Sé que $R[x]$ es un UFD porque $R$ es (vimos esto sin pruebas), y han estado tratando de concluir la ACC en $R[[x]]$ de la ACC en $R[x]$, sin éxito.
Puedo demostrar la ACC si $R$ es un campo, porque entonces todos los $a_kx^k+a_{k+1}x^{k+1}+\cdots$ $a_k\neq0$ es asociado con $x^k$, por lo tanto cada ideal es de la forma $(x^k)$. (De hecho, este fácilmente se demuestra que $R[[x]]$ es un UFD.) Si $R$, no es un campo, decir que ha algunos no invertible elemento $r$, entonces hay muchos de los más ideales tales como la $(r)$ o $(r+x)$.
Estoy también se enfrentan a dificultades en la identificación de los elementos irreductibles de $R[[x]]$. (Deseo de demostrar que todos los números primos en orden a la conclusión de la unicidad de la factorización.) He descubierto que asumen la forma $ux+Px^2$ para algunos de una unidad de $u\in R^\times$ y algunos $P\in R[[x]]$ o tiene un no-cero término constante, que no es invertible en a $R$. Los elementos de la forma $ux+Px^2$ son de hecho los números primos, la dificultad radica en los no-cero término constante.
Cualquier sugerencias a probar $R[[x]]$ es una unidad flash usb?
