Un ejercicio en mi curso de álgebra libro pide probar que si R es un PID, a continuación, R[[x]] es un UFD, donde R[[x]] es el anillo de poder formal de la serie sobre R.
Después de algunos intentos fallidos a probar la ACC visité la Wikipedia, que los comentarios:
Si R es Noetherian, entonces también lo es R[[x]]; esta es una versión de Hilbert teorema de la base.
Esto es muy útil, como R es un PID y por lo tanto Noetherian. Por desgracia, sólo vimos (sin pruebas) de Hilbert teorema de la base en forma
Si R es Noetherian, entonces también lo es R[x].
No estoy seguro de cómo concluir la Noetherianity de R[[x]] a partir de este. Sé que R[x] es un UFD porque R es (vimos esto sin pruebas), y han estado tratando de concluir la ACC en R[[x]] de la ACC en R[x], sin éxito.
Puedo demostrar la ACC si R es un campo, porque entonces todos los a_kx^k+a_{k+1}x^{k+1}+\cdots a_k\neq0 es asociado con x^k, por lo tanto cada ideal es de la forma (x^k). (De hecho, este fácilmente se demuestra que R[[x]] es un UFD.) Si R, no es un campo, decir que ha algunos no invertible elemento r, entonces hay muchos de los más ideales tales como la (r) o (r+x).
Estoy también se enfrentan a dificultades en la identificación de los elementos irreductibles de R[[x]]. (Deseo de demostrar que todos los números primos en orden a la conclusión de la unicidad de la factorización.) He descubierto que asumen la forma ux+Px^2 para algunos de una unidad de u\in R^\times y algunos P\in R[[x]] o tiene un no-cero término constante, que no es invertible en a R. Los elementos de la forma ux+Px^2 son de hecho los números primos, la dificultad radica en los no-cero término constante.
Cualquier sugerencias a probar R[[x]] es una unidad flash usb?
