Por qué la ecuación $3\cdot0=0$ necesita ser probado

Question

En Álgebra por Gelfand Página 21 ( para todos los que tienen el libro).
Él intenta demostrar que: $3\cdot(-5) + 15 = 0$.
Aquí la prueba: $3\cdot(-5) + 15 = 3\cdot(-5) + 3\cdot5 = 3\cdot(-5+5) = 3\cdot0 = 0$. Después de que él dijo:

El lector cuidadoso se asky porqué $3\cdot0 = 0$.

¿Por qué esta ecuación deben ser probada ?
Pregunté en algún lugar y se le dijo que $a\cdot0=0$ es un axioma que tal vez Gelfand no asumir que era cierto, durante su prueba.
Pero, ¿por qué se necesita para ser un axioma, es comprobable:
En el segundo paso de su prueba de convertirse de 15 a $3\cdot5$ así que la multiplicación se define así
$a\cdot0 = (0 + 0 + \cdots)$ x veces $= 0$.
Soy consciente de que la multiplicación se define como la suma repetida sólo para los números enteros,
pero el 3 es un número entero por lo que esta definición funciona en mi ejemplo.

En caso de que mi pregunta no es clara se puede resumir como:
¿Por qué se tarda $3\cdot5=15$ por sentado, pero piensa $3\cdot0=0$ necesita una explicación?

Answer 1

Gelfand no realmente tome $3 \cdot 5 = 15$ por sentado; en el curso normal de los acontecimientos, esto tendría tanto la prueba como $3 \cdot 0$.

Pero el valor específico de la $15$ no es importante aquí; estamos realmente tratando de demostrar que si $3 \cdot 5 = 15$, a continuación, $3 \cdot (-5) = -15$. Es decir, queremos saber que hacer uno de los factores negativos hace que el resultado negativo. Si usted piensa de esta prueba como una prueba de que $3 \cdot (-5) = -(3 \cdot 5)$, entonces no hay ningún paso que falta.

La totalidad de la prueba podría ser convertido en un general de la prueba que $x \cdot (-y) = -(x\cdot y)$ , sin cambios; tengo la sospecha de que los autores consideraron que esto sería más intimidante que el uso de números concretos.

Si realmente se preocupaba por el valor específico de $3 \cdot 5$, necesitaríamos prueba de ello. Pero para demostrar que $3 \cdot 5 = 15$, tenemos que preguntarnos: ¿cómo se $3$, $5$, e $15$ definida para empezar? Probablemente como $1+1+1$, $1+1+1+1+1$, e $\underbrace{1+1+\dots+1}_{\text{15 times}}$, respectivamente, en cuyo caso necesitamos la ley distributiva para demostrar que $3 \cdot 5 = 15$. Generalmente, no nos molestamos, porque normalmente no podemos probar todos los bits de nuestros reclamos directamente a partir de los axiomas de la aritmética.

Por último, no se suelen hacer a$x \cdot 0 = 0$ un axioma. Para los números enteros, si definimos la multiplicación como adición repetida, podríamos probar como usted sugiere. Pero, en general, se puede derivar de la propiedad que $x + 0 = x$ (que se suele tomar como una definición de lo $0$ ) y de las otras leyes de la multiplicación y la suma en esta parte del libro de texto.