Epimorfismo estricto de esquemas

Question

Estoy leyendo Milne's Cohomología de Etale y me encontré con este problema que hasta ahora me ha eludido.

Según Milne, en cualquier categoría con productos de fibra, decimos que un morfismo $f:Y \to X$ es un epimorfismo estricto si la secuencia de conjuntos $$\operatorname{Hom}(X,Z) \overset{f^*}{\to} \operatorname{Hom}(Y,Z) \underset{p_2^*}{\overset{p_1^*}{\rightrightarrows}} \operatorname{Hom}(Y \times_X Y,Z) $$ es exacta para todos los objetos $Z$ en la categoría.

Ahora fija nuestra categoría para ser esquemas sobre un campo $k$ y consideremos el morfismo $\operatorname{Spec}(k[t]) \to \operatorname{Spec}(k[t^3,t^5])$ . La cuestión es demostrar que se trata de un epimorfismo que no es estricto.

El mapa sobre anillos subyacentes es inyectivo, y se ve fácilmente que es suryectivo sobre espectros, por lo que se trata ciertamente de un epimorfismo en Sch/ $k$ pero parece que soy incapaz de producir un esquema $Z$ lo que hace que el diagrama anterior falle.

Una idea era considerar $\operatorname{Spec}(k[t^3,t^5])$ como curva cuspidal $y^3-x^5$ en el espacio 2 afín, y luego volar en el origen. El divisor excepcional de la transformada estricta sería entonces un punto triple (nilpotente), por lo que es de esperar que esto estropee las cosas adecuadamente. Sin embargo, no consigo encontrar una sección. La explosión viene con un mapa natural hacia abajo a la curva original, pero estoy luchando para encontrar uno hacia arriba.

Answer 1

Toma $Z=\mathrm{Spec}\, k[x]$ y consideremos el mapa $\varphi:Y\to Z$ inducido por el mapa de anillos $k[x]\to k[t]$ , $x\mapsto t^7$ . Entonces $\varphi$ no es a imagen y semejanza de $\mathrm{Hom}(X,Z)=\mathrm{Hom}(k[x],k[t^3,t^5])$ porque $t^7\not\in k[t^3,t^5]$ . Sin embargo, afirmo que $\varphi$ se iguala mediante los dos mapas a $\mathrm{Hom}(Y\times_X Y,Z)$ . Esto equivale a la condición de que $t^7\otimes 1=1\otimes t^7$ en $k[t]\otimes_{k[t^3,t^5]}k[t]$ .

Para mayor comodidad, escribiremos $u=t\otimes 1$ y $v=1\otimes t$ . A continuación, debemos demostrar que $u^7=v^7$ . Por construcción del producto tensorial, tenemos $u^3=v^3$ y $u^5=v^5$ . Concluimos que $$ u^7-v^7=(u^2+v^2)\big(u^5-v^5\big)-u^2v^2\big(u^3-v^3\big)=0. $$