Teoría de la codificación sistema problema

Question

Supongamos que $\mathbb{A}$ es un conjunto finito y tome $\overline{u},\overline{v} \in \mathbb{A}^n$. Vamos a:

$$X=\{\overline{x} \in \mathbb{A}^n\mid d(\overline{u},\overline{x})<d(\overline{v},\overline{x})\}$$

$$Y=\{\overline{y} \in \mathbb{A}^n\mid d(\overline{u},\overline{y})>d(\overline{v},\overline{y})\}$$

Demostrar que $Card(X)=Card(Y)$

Estoy realmente atascado en este problema. Pensé acerca de la creación de algunos bijection entre ambos conjuntos. Pero yo realmente no sé cómo hacer eso, lo que me hace sentir que no es el buen camino. Tal vez tengo que usar alguna propiedad acerca de las distancias.

Answer 1

Para cada una de las $i=1,2,\ldots,n,$ deje $\pi_i:\Bbb{A}\to\Bbb{A}$ ser la permutación definido por $\pi_i(u_i)=v_i$, $\pi_i(v_i)=u_i$, e $\pi_i(a)=a$ para todos los $a\in\Bbb{A}\setminus\{u_i,v_i\}$. A continuación, defina $\phi:\Bbb{A}^n\to\Bbb{A}^n$ por la receta $$ \phi:(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mapsto (\pi_1(x_1),\pi_2(x_2),\ldots,\pi_n(x_n)). $$ Mostrar que

1. $\phi$ es una isometría. En otras palabras $d(\overline{x},\overline{y})=d(\phi(\overline{x}),\phi(\overline{y}))$ para todos los $\overline{x},\overline{y}\in\Bbb{A}^n$.
2. $\phi(\overline{u})=\overline{v}$ e $\phi(\overline{v})=\overline{u}$.
3. $\phi(X)=Y$ e $\phi(Y)=X$.

Answer 2

No es necesario que el sistema subyacente es un campo (o Grupo abeliano). Sólo demostrar que la cardinalidad del conjunto de <span class="math-container">${x\in A^n\mid d(u,x)=i}$</span> <span class="math-container">$i\geq 0$</span> fijadas es independiente de la opción de <span class="math-container">$u\in A^n$</span>.

Entonces podemos escribir <span class="math-container">$d_i = |{x\in A^n\mid d(u,x)=i}|$</span> <span class="math-container">$i\geq 0$</span>.