Encontrar el mínimo valor de un determinante de $4\times 4$

Question

La pregunta.

Deje $\xi=(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)\in\mathbb R^4$ ser un vector con irracional coordenadas.

Estoy interesado en encontrar el mínimo valor de $\mu_\xi$ de

$$\left\vert \det \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & 0 & 1 \\ b_1 & b_2 & 1 & 0 \\ c_1 & c_2 & \xi_1 & \xi_3 \\ d_1 & d_2 & \xi_2 & \xi_4 \end{pmatrix} \right\vert,$$

para $a_1,b_1,c_1,d_1,a_2,b_2,c_2,d_2\in\mathbb Z$, en términos del área del paralelepípedo formado por los dos vectores $X_i:=(a_i,b_i,c_i,d_i)$, $i=1,2$ (que supongo linealmente independientes), en $\mathbb R^4$.

Vamos a llamar a esta área $D(X_1,X_2)$. Sé que tenemos

$$\begin{align*} D(X_1,X_2)^2 &= \Vert X_1\Vert^2\Vert X_2\Vert^2-(X_1\cdot X_2)^2 \end{align*},$$

pero no tengo ni idea de cómo proceder a partir de aquí.

La conjetura.

Mi esperanza (lo que ayudaría a la construcción de otra prueba mucho) sería que si elegimos la $\xi_i$ correctamente, podemos mostrar que el mínimo valor que verifica

\begin{equation} \mu_\xi\geqslant \frac c{D(X_1,X_2)^2}\qquad\qquad (1) \end{equation}

donde $c$ es una constante (que puede depende de $\xi$).

Observaciones finales.

A pesar del hecho de que creo firmemente que $(1)$ es cierto, ninguna prueba que demostrara que la

$$\mu_\xi\geqslant \frac c{D(X_1,X_2)^\gamma}$$

para un $\gamma<4$ sería de gran interés.

Answer 1

La respuesta es amplia así que tenemos notaciones, para cualquier $(X_1,X_2)$ en ${\mathbb{Z}}^2$ distintas, no es $A$ tal que $\dfrac{1}{D(X_1,X_2)}\le \dfrac{1}{A}$. $C:=area(X_1,X_2)\ge a$ (paralelogramo) también se $a\neq 0$existen. El factor determinante es el volumen de los cuatro vectores columna de la matriz dada (que suponemos es invertible] y es igual a $\mu_{\xi}=C.\alpha_{\xi}\ge \frac{c_{\xi}}{A}\ge \frac{c_{\xi}}{D(X_1,X_2)} $ para algunos $\alpha_{\xi}$ donde $c_{\xi}= a.A.\alpha_{\xi}$.

Edición de $D(X_1,X_2)$ es el volumen de $(X_1,X_2, X_1\times X_2)$

Encontrar el mínimo valor de $a$ explícitamente es el mismo que encontrar el valor mínimo de $A$.