De la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}\left(H_n-\ln n-\gamma-\frac1{2n}\right)$$\zeta(\frac12+it)$.

Question

Aquí es una bonita serie

$$\displaystyle \sum_{n=1}^{+ \infty} \left(H_{n}-\ln n-\gamma\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{2} \left(1-\ln (2\pi)+\gamma\right) \etiqueta{*}$$ donde $H_{n}:=\sum_{1}^{n} \frac{1}{k}$ son los armónicos números y $\gamma := \lim\limits_{n \to \infty} (H_n- \ln n)$ es la constante de Euler.

Ahora acaba de introducir un parámetro en el término general de la serie y se obtiene un enlace con... la de Riemann $\zeta$ función en la línea crítica!

Qué prueba podría dar para (*)?

¿Qué elementos podrían dar para obtener el vínculo con

$$\zeta\left(\frac{1}{2}+it\right)?$$

Answer 1

La prueba de (*)

La adición de los cuatro finito de sumas,

$$\sum_{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n,$$

$$\sum_{k=1}^{n}\ln{n}=\ln{n!},$$

$$\sum_{k=1}^{n}\gamma=\gamma\,n,$$

$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k}=\frac12H_{n},$$

nos da una representación de la $n$-ésima suma parcial de la serie infinita. La escritura de la serie infinita como el límite de sumas parciales, obtenemos:

$$\begin{align} S &=\sum_{k=1}^{\infty}\left(H_{k}-\ln{n}-\gamma-\frac{1}{2k}\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\left(H_{k}-\ln{n}-\gamma-\frac{1}{2k}\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\left((n+1)H_{n}-n-\ln{n!}-\gamma\,n-\frac12H_{n}\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(\left(n+\frac12\right)H_{n}-(1+\gamma)n-\ln{n!}\right). \end{align}$$

El uso de Stirling aproximación para el factorial para obtener una fórmula asintótica para el registro de-factorial término de la serie:

$$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\\ \implica \ln{n!}\sim\ln{\left(\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)}=\left(n+\frac12\right)\ln{n}-n+\frac12\ln{(2\pi)}.$$

A continuación,

$$\begin{align} S &=\lim_{n\to\infty}\left(\left(n+\frac12\right)H_{n}-(1+\gamma)n-\ln{n!}\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(\left(n+\frac12\right)H_{n}-(1+\gamma)n-\left(n+\frac12\right)\ln{n}+n-\frac12\ln{(2\pi)}\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(\left(n+\frac12\right)H_{n}-\gamma\,n-\left(n+\frac12\right)\ln{n}\right)-\frac12\ln{(2\pi)}\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(n\left(H_{n}-\gamma-\ln{n}\right)+\frac12\left(H_{n}-\ln{n}\right)\right)-\frac12\ln{(2\pi)}\\ &=\lim_{n\to\infty}n\left(H_{n}-\gamma-\ln{n}\right)+\frac12\lim_{n\to\infty}\left(H_{n}-\ln{n}\right)-\frac12\ln{(2\pi)}\\ &=\lim_{n\to\infty}n\left(H_{n}-\gamma-\ln{n}\right)+\frac12\gamma-\frac12\ln{(2\pi)}\\ &=\frac12+\frac12\gamma-\frac12\ln{(2\pi)}.~~~\blacksquare \end{align}$$

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Apéndice:

El uso de la serie asintótica de la función digamma dado por la Eq.16 en este Wolfram Mathworld página,

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty}n\left(H_{n}-\gamma-\ln{n}\right) &=\lim_{n\to\infty}n\left(\Psi{(n+1)}-\ln{n}\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{1}{2n}-\sum_{\ell=1}^{\infty}\frac{B_{2\ell}}{2\ell n^{2\ell}}\right)\\ &=\frac12-\lim_{n\to\infty}\sum_{\ell=1}^{\infty}\frac{B_{2\ell}}{2\ell n^{2\ell-1}}\\ &=\frac12. \end{align}$$

Answer 2

Observar que $$H_{n}-\ln n-\gamma\frac{1}{2n} = \psi (n) - \ln n + \frac{1}{2n}$$ donde $\psi := \Gamma'/\Gamma$ es la función digamma, utilizando $\displaystyle \psi (n)= H_{n-1}-\gamma = H_n-\gamma- \frac{1}{n}$, $n\geq 1$.

Nuestra primera serie, por lo tanto vuelve a escribir $$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \psi(n )- \log n + \frac{1}{2n}\right) = \frac{\gamma}{2} - \frac{1}{2}\ln(2\pi)+ \frac{1}{2},$$ (demostrado por David H).

Luego de considerar el parámetro de la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\psi(n \alpha)- \log (n \alpha) + \frac{1}{2n \alpha}\right) \quad \alpha >0.$$ Tenemos el siguiente resultado.

Teorema 1. Deje $\alpha$ $\beta$ ser números reales positivos tales que $\alpha\beta=1$.

Entonces $$\begin{align} &\sqrt{\alpha}\left\{\frac{\gamma-\log(2\pi\alpha)}{2\alpha}+ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\psi(n \alpha)- \log (n \alpha) + \frac{1}{2n \alpha}\right)\right\}\\ = & \sqrt{\beta}\left\{\frac{\gamma-\log(2\pi\beta)}{2\beta}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\psi(n \beta)- \log (n \beta) + \frac{1}{2n \beta}\right)\right\} \\ = &-\frac{1}{\pi^{3/2}}\int_0^{\infty}\left|\xi\left(\frac{1}{2}+\frac{it}{2}\right)\Gamma\left(\frac{-1+it}{4}\right)\right|^2 \frac{\cos\left(\frac{t}{2}\log\alpha\right)}{1+t^2}dt, \end{align}$$

donde $$\xi(s):=\frac{s(s-1)}{2} \displaystyle \pi^{-s/2}\:\Gamma(\frac{s}{2})\zeta(s)$$ and where $\zeta$ es la de Riemann zeta función.

Ahora express $\displaystyle \left|\xi\left(\frac{1}{2}+\frac{it}{2}\right)\right|^2$ en términos de $\left|\zeta \left(\frac{1}{2}+ it\right)\right|^2$ y se puede obtener el evocaba a link.

Teorema 1 es debido a Ramanujan y uno puede encontrar una prueba reciente aquí.

Aquí es un resultado que he encontrado.

Teorema 2. Deje $\Re \alpha >0$.

Entonces $$\sum_{n=1}^{\infty} \! \left(\! \psi(\alpha n )- \log (\alpha n ) + \frac{1}{2 \alpha n }\! \right)\! =\! \displaystyle \frac{1+\gamma-\log(2\pi)}{2} \\ -\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{\alpha (1-x^{1/\alpha})}-\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\alpha}\!\right)\!\frac{\mathrm{d}x}{1-x}.$$

Gracias.