Ejercicio 2.4.2 En Weibel Una Introducción al Álgebra Homológica

Question

Estoy teniendo un problema con el ejercicio 2.4.2 en Weibel del álgebra homológica libro. Es decir, se le pide que probar que si $U:\cal{B}\rightarrow\cal{C}$ es un functor exacto, entonces

$$U(L_iF)\simeq L_i(UF)$$

Donde $L_iF$ es la izquierda derivados functor de $F:\cal{A}\rightarrow\cal{B}$. Puedo demostrar la equivalencia de homología, pero suponiendo que significa isomorfismo en términos de transformaciones naturales estoy luchando para probar la conmutatividad de los asociados diagrama para un mapa de $f: A\rightarrow A'$ en $\cal{A}$. Supongo que mi problema es que aunque es fácil demostrar la existencia de un isomorfismo entre la homología de grupos, consiguiendo una forma explícita es menor, por lo que tratando de seguir los elementos a través del diagrama es torpe. Gracias de antemano por su ayuda!

Answer 1

Supongamos $F:A\to B$ es el functor desea derivar, y $U:B\to C$ es exacta. Para calcular los $LF(a)$ por ann objeto de $a$ de $A$, que se considera una resolución proyectiva $a_*\stackrel{\varepsilon}\longrightarrow a $, y, a continuación, calcular $HF(a_*)$. Entonces usted obtaon $ULF(a)$ simplemente por la aplicación de $U$ al resultado, $UHF(a_*)$. Para calcular los $LUF(a)$, usted desea considerar $HUF(a_*)$.

De ello se desprende que lo que realmente se quiere demostrar es la siguiente: si $b_*$ es un complejo en $B$ , a continuación, hay un isomorfismo $H(Ub_*)\to UH(b_*)$. Para ello, basta mostrar que $U$ viajes con la toma de homología $H=Z/B$ en un solo lugar. Pero tenemos una secuencia exacta $0\to B\to Z\to H\to 0$, y la aplicación de $U$ consigue una secuencia exacta $0\to UB\to UZ\to UH\to 0$. Esto identifica a $HU$ con $UH$ canónicamente.