Esta respuesta está ampliando un poco en las otras respuestas para dar una amplia aplicación de esquema de la prueba de los enunciados matemáticos en general.
La prueba final será igual a la Marca de la respuesta, pero espero que esta respuesta arroja un poco de luz sobre lo que realmente está pasando en el proceso del pensamiento, al menos me gusta pensar en los términos definidos a continuación mientras estoy demostrando.
En general, usted necesita una "prueba de cálculo" que indica cómo las pruebas puede ser construido y que son válidos. A menos que usted está haciendo la lógica y la prueba de la teoría misma, en la mayoría de los ajustes en las matemáticas que están bien fuera de uso de la deducción natural a prueba de cálculo para la lógica de primer orden. En corto — corte a la luz de esta pregunta:
- Para demostrar $\varphi \land \psi$, demuestran $\varphi$ e $\psi$ por separado.
- Para demostrar $\varphi \lor \psi$, dar una prueba de $\varphi$ o, alternativamente, para $\psi$. Una prueba para $\varphi$ o $\psi$ ya es suficiente.
- Para demostrar $\varphi → \psi$, suponga $\varphi$ y demostrar $\psi$ bajo este supuesto.
La implicación captura la noción de "si tenemos $\varphi$ e $\varphi → \psi$ establecido en algún lugar, entonces podemos concluir $\psi$." La mayoría, si no todos, de los teoremas pueden ser vistos como consecuencias: si usted cumple con los requisitos, entonces usted puede utilizar sus consecuencias.
Por lo tanto tiene sentido que se puede asumir la $\varphi$ en la prueba de $\varphi → \psi$.
- Para demostrar $\forall x. \varphi(x)$ ($\varphi$ puede depender de $x$), introducir nuevos variable que no ha usado antes (por ejemplo, $c$) y demuestre $\varphi(c)$ (es decir, cada ocurrencia de $x$ está lleno de $c$).
Introducción de una nueva variable es necesaria para garantizar que la prueba de $\varphi(c)$ sí no depende de los supuestos anteriores en $x$. Por lo tanto, después de haber demostrado $\varphi(c)$ realmente equivale a después de haber demostrado la proposición $\varphi(x)$ todos los $x$.
Ahora considere la posibilidad de su declaración:
$$\left((x \in A → x \in C) \land (x \in B → x \in C)\right) → A \cup B \subseteq C$$
Usted ya hizo un buen trabajo de traducirlo a lenguaje más formal! Pero podemos ir un paso más allá. En realidad lo que la línea anterior significa que es la siguiente:
$$\left((\forall x. x \in A → x \in C) \land (\forall x. x \in B → x \in C)\right) → (\forall x. x \in A \cup B → x \in C)$$
En el nivel superior, tenemos una $\varphi → \psi$-kinded expresión. La aplicación de la correspondiente regla, comenzamos con
(1) Supongamos $(\forall x. x \in A → x \in C) \land (\forall x. x \in B → x \in C)$.
Nuestra prueba de meta, como stateted en la regla, es ahora el lado derecho $$(\forall x. x \in A \cup B → x \in C).$$
Este es de tipo $\forall x. \varphi(x)$ con $\varphi(x) := x \in A \cup B → x \in C$.
Así,
(2) Vamos a $y$ ser un fresco de la variable.
Llamé a $y$ para evitar la confusión con el conjunto de $C$. Cuando uno define la frescura de manera más formal, se ve que el $x$ han trabajado, así como una nueva variable.
Ahora tenemos que mostrar $\varphi(y)$, que es $y \in A \cup B → y \in C$. Una vez más, aplicar el $→$ regla de arriba:
(3) Suponga $y \in A \cup B$.
Nuestra prueba final de meta ahora es: $y \in C$. Esto puede ser demostrado por caso-por-caso de análisis:
(4) sabemos que $y$ es de $A$ o $B$. En el primer caso, $y \in A$ y por línea (1) en particular nos conocemos $y \in A → y \in C$. Ya tenemos $y \in A$ establecido, podemos concluir $y \in C$. Caso terminado. El siguiente y último caso es $y \in B$ que funciona de forma análoga.
