Resolver $\sin^{3}x+\cos^{3}x=1$

Question

Resolver para $x\\ \sin^{3}x+\cos^{3}x=1$

$\sin^{3}x+\cos^{3}x=1\\(\sin x+\cos x)(\sin^{2}x-\sin x\cdot\cos x+\cos^{2}x)=1\\(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cdot\cos x)=1$

¿Qué debo hacer ahora?

Answer 1

Una pista. $$\sin^3(x)+\cos^3(x)=\sin^2(x)+\cos^2(x).$$

Answer 2

Ambos $\sin(x),\cos(x)$ debe ser no negativo ya que, si uno de ellos fuera negativo, la ecuación $\sin^3(x)+\cos^3(x)=1$ implicaría que el otro es más que $1$ contradicción.

Así, tenemos $0\le \sin(x) \le 1$ y $0\le \cos(x)\le 1$ .

Si ambos $\sin(x),\cos(x)$ son inferiores a $1$ entonces, como ambos son no negativos, tendríamos $$ \begin{cases} 0\le \sin^3(x) < \sin^2(x)\\[4pt] 0\le \cos^3(x) < \cos^2(x)\\ \end{cases} $$ pero eso implicaría $$\sin^3(x)+\cos^3(x) < \sin^2(x)+\cos^2(x)=1$$ contradicción.

De ello se desprende que uno de $\sin(x),\cos(x)$ debe ser igual a $1$ y el otro debe ser igual a cero.

A partir de esa información, seguro que puedes terminar la solución.

Answer 3

Una pista:

Dejemos que $\sin x+\cos x=t\implies t^2=?$

$$1=\dfrac{t\{2-(t^2-1)\}}2\iff t^3-3t+2=0$$

Claramente, $t=1$ una solución

Answer 4

Deje que el uso por $t= \tan (x/2)$

• $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$

• $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

para obtener

$$2t^6-8t^3+6t^2=0$$

$$\iff t^2(t^4-4t+3)=t^2(t-1)^2(t^2+2t+3)=0$$

y como $t^2+2t+3>0$ las soluciones son

• $t=0 \implies \frac x 2=k\pi\implies x=2k\pi$

• $t=1 \implies \frac x 2=\frac{\pi}4+k\pi \implies x=\frac{\pi}2+2k\pi $

Answer 5

Como alternativa por

$$\sin^3 x+ \cos ^3 x=1 \iff \sin x\cdot \sin^2+\cos x\cdot \cos^2 x=1$$

desde $\sin^2 x+ \cos ^2 x=1$ la igualdad dada es una media ponderada de $\sin x$ y $\cos x$ que se cumple si y sólo si

• $\sin x=1,\,\cos x=0$

o

• $\cos x=1,\,\sin x=0$