¿Hay conjeturas similares como esta?

Question

Hablando con mi amigo, mi amigo sugieren impresionante conjetura de que

Para $i\in\mathbb{N}$, siempre hay existir número natural $r$ que satisface $$\sum_{n=1}^{i} \frac{1}{n^r}=\frac{p}{q} , \gcd(p,q)=1$$ and $p+q$ es un número primo.

Por ejemplo, $$\sum_{n=1}^{2} \frac{1}{n}=\frac{3}{2}$$ and $3+2=5$. And $yo=3$, $$\sum_{n=1}^{3} \frac{1}{n^4}=\frac{1393}{1296}$$ and $1393+1296=2689$.

$$\sum_{n=1}^{4} \frac{1}{n^2}=\frac{205}{144}$$ and $205+144=349$ que es 70 número primo.

En $i=5$ $$\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{n^3}=\frac{256103}{216000}$$ and $256103+216000=472103$.

También $$\sum_{n=1}^{6} \frac{1}{n^3}=\frac{28567}{24000}$$ and $24000+28567=52567$.

Hay similer como este? Si no, ¿Qué acerca de su pensar, es cierto? O falso....

Yo me alegro de que ustedes a pensar acerca de esta cosa y compartir opiniones para mí y mi amigo curiosidad.

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Nota: ID:metamorphy sugieren que la secuencia de los más pequeños valores de $r$ comienza con $1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 34, 1, 1, 5, \ldots$. (No están llenos de comentarios de abajo con más comentarios.)

Answer 1

Es probable que sea muy difícil de demostrar (o refutar) pero me imagino que era verdad. Aquí está una heurística de por qué creo esto.

Es fácil ver que el denominador de $\sum_{n=1}^i\frac1{n^r}$ es en la mayoría de las $i!^r$, y el numerador es menor que el doble de $r>1$. Así que tenemos un límite en el tamaño de $p+q$ orden $k^r$. El primer número teorema sugiere que, aproximadamente, un $\frac1{\log(k^r)}=\frac{1}{r\log k}$ proporción de los números acerca de que tamaño son los principales. Así que si, en lugar de usar los números reales, que acaba de recoger números aleatorios de el tamaño adecuado, la posibilidad de no golpear a un primer serían $\prod_{r=2}^{\infty}\big(1-\frac{1}{r\log k}\big)=0$ (esta igualdad se sigue de la divergencia de la serie armónica).

Por supuesto, sus números no son al azar y no son independientes el uno del otro, pero en la ausencia de una buena razón por la que el proceso es menos probable que eventualmente producir un primo, creo que lo hará.