Resolver

Question

Resolver $$7^x+x^4+47=y^2$$ where $x, y \in \mathbb{N}^*$

Si $x$ es impar entonces el término izquierda es congruente con $3$ mod $4$ por lo que no podía ser un cuadrado perfecto, por lo que podemos deducir que $x=2a$ y la relación se convierte en $$49^a+16a^4+47=y^2$$ and it is easy to see that the left term is divisible by $16$ so we obtain that $y=4b$, so we have to find $$ and $b$ such that $$49^a+16a^4+47=16b^2$$ A partir de este punto, yo estaba completamente atascado. Creo que no hay soluciones, pero ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Si $x$ es par y deja $x=2a$ , entonces $(7^a)^2<7^x+x^4+47<(7^a+1)^2=7^x+2\times7^a+1$ if $(2a)^4+47<2\times7^a+1$ , lo cual es cierto para $a \ge 4$ . Por lo tanto, es suficiente considerar solo $x=2, 4$ y $6$ .

Answer 2

No puedes probar que no hay soluciones. $x=4, y=52$ es una solución.

Answer 3

Cuando $x$ es impar, a continuación, $7^x+x^4+47\equiv 3(\mod 4)$. Así, no es posible $y^2\equiv 3(\mod 4)$.

Deje $x=2k$, entonces para $k\geq 4$

$$(7^k)^2<7^{2k}+(2k)^4+47<(7^k+1)^2$$

Esto significa que tenemos $k\leq 3$. si tratamos de $k=1,2,3$ sólo $x=4$ es una solución.