Bajando el teorema con modificación.

Question

Va-abajo Thm: Let $A\subseteq B$ ser una extensión integral. Asumir que $B$ es un dominio integral y que $A$ está cerrado integralmente. Bajando luego sostiene la extensión anterior.

Question1: Podemos nosotros eliminar la hipótesis de que $B$ es un dominio y reemplace con $B$ se reduce.

Question2: Si no, alguien me puede dar un contraejemplo?

Gracias.

Answer 1

Me resulta más fácil pensar geométricamente, por lo que voy a argumentar de esa manera. Supongamos que $B$ es reducido y Noetherian, por lo que la Especificación $B$ es la unión de un número finito de componentes irreducibles de Espec $B_i$, cada uno de los cuales es reducido e irreductible, es decir, integral. Supongamos también que cada componente de Espec $B$ domina Espec $A$. (En el anillo de la teoría de términos, supongamos que cada uno de los inducida por los mapas de $A \to B_i$ es inyectiva.)

Cada uno de los mapas de $f_i:$ Espec $B_i \to$ Espec $A$ es también finito, porque es el compuesto de la cerrada de inmersión Espec $B_i \hookrightarrow $ Espec $B$ y el mapa de $f:$ Espec $B \to $ Espec $A$, que es finito, por supuesto. Así que va abajo tiene para cada uno de los mapas Espec $B_i \to$ Espec $A$.

Ahora cualquier punto de $x$ de Espec $B$ pertenece a uno de los Espec $B_i$, y dado lo $y' \in $ Espec $A$ generalizar $y = f_i(x)$, bajando da $x' \in$ Espec $B_i$ generalizar $x$ tal que $y' = f_i(x')$. Ahora piensa en $y$ sólo como un elemento de Espec $B$, y recordar que $f_i$ no es nada, pero la restricción de $f$ a Espec $B_i$. Así vemos que $f(y') = x'$, y así bajando tiene para el mapa de $f$.

(Usted puede convertir fácilmente este argumento en pura álgebra conmutativa: el punto es que $B$ incrusta en el producto $\prod_i B_i$ de los dominios $B_i$, por lo que cualquier primer ideal de $B$ se tira desde un primer ideal de uno de los $B_i$. así que va abajo de la $B_i$ implica ir hacia abajo para $B$. Os dejo los detalles para usted.)

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Tenga en cuenta que es fundamental asumir que cada Espec $B_i$ domina Espec $A$, no solo que la Especificación $B$ domina Espec $A$. De lo contrario, podríamos tomar Espec $B$ a ser distinto de la unión de Espec $B_1$ dominando Espec $A$, y algunos Espec $B_2$ que no dominan Espec $A$; desde abajo no se cumple para el mapa Espec $B_2 \to $ Espec $A$, no se puede sostener por la disoint de la unión. Esto es lo que sucede en wxu del contraejemplo: es la desunión de la unión de una línea y un plano de la asignación a un avión.

Answer 2

Creo que no es correcto.

Que $A=k[x,y]$, $B=k[x,y]\times k[x]$. Envía el mapa $A\to B$ $f(x,y)$ $(f(x,y),f(x,0))$. Por lo tanto es inyectiva $A\to B$ y $B$ es integral $A$.

Que $\mathfrak{p}_1=(y)\subset A$ y $\mathfrak{q}_1=k[x,y]\times (0)\subset B$ y $\mathfrak{q}_1\cap A=\mathfrak{p}_1$. Que $\mathfrak{p}_2=(0)\subset A$. Entonces no hay ningún primer $\mathfrak{q}_2\subset \mathfrak{q}_1$ $B$ tal que $\mathfrak{q}_2\cap A=\mathfrak{p}_2$.

Editar: en este ejemplo, es claro $B$ integral $A$. $(a,0)\in B$, $(a,0)^2-(a,a)(a,0)=0$. $(0,b)\in B$, $(0,b)^2-(b,b)(0,b)=0$.