Quiero calcular
$ \sum_{k = 1} ^ {p-1} k ^ n \,\,\,\,\,\text {(mod $p$)} $$
con el conocimiento $n \not\equiv 0 $ (mod $p-1$), donde $n \geq 1$ y $p$ son un primo impar.
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Roger Hoover
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$\mathbb{Z}/(p\mathbb{Z})^$ es un grupo cíclico (es la parte multiplicativa de un campo finito), por lo tanto pueden representarse todos los restos de cero $!!\pmod{p}$ $g^r$ $r\in[1,p-1]$, $g$ siendo uno de los generadores de $\varphi(p-1)$de % de $\mathbb{Z}/(p\mathbb{Z})^$. En particular, cualquier $n$ que no es un múltiplo de $p-1$
%#% $ de #% donde es el inverso del $$ \sum{k=1}^{p-1}k^n \equiv \sum{r=1}^{p-1} g^{rn}\equiv \frac{g^{pn}-1}{g^n-1}-1\equiv\frac{g^n-1}{g^n-1}-1\equiv 0 \pmod{p}$ $\frac{1}{g^n-1}$.
Supongamos $n$ no divide $p-1$. A continuación, el mapa $$x \mapsto x^n$$ de $\mathbb{F}_p^\times \to \mathbb{F}_p^\times$ es surjective, ya $\mathbb{F}_p^\times$ es un grupo cíclico de orden $p-1$. Para ver esto, vamos a $g$ ser un generador de $\mathbb{F}_p^\times$. A continuación, $g^n$ es todavía un generador del grupo y está en la imagen. Así que, de hecho, el mapa es bijective ya que es entre finito de conjuntos de la misma cardinalidad.
Por lo tanto, tenemos $$ \sum_{k=1}^{p-1} k^n \equiv \sum_{k=1}^{p-1} k \pmod {p} $$ y la última suma es cero cuando $p$ es una extraña prime. Para ver esto, par de términos: este es $$ \sum_{k=1}^{(p-1)/2} k + (p-k) \equiv \sum_{k=1}^{(p-1)/2} 0 \pmod p. $$
