En el papel de "Quantum de la Ecuación de Langevin" por G. W. Ford, J. T. Lewis, y R. F. O'Connell me encontré con la siguiente instrucción \begin{equation} \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \omega \cos[\omega t] \coth[\alpha \omega/2] \text{d} \omega = \frac{1}{\alpha} \frac{\text{d}}{\text{d}t} \coth[\pi t/\alpha]. \end{equation} Es la Ecuación (2.11) en el papel he enlazado.
Me gustaría entender cómo obtener este resultado. Me he dado cuenta de que el lado izquierdo puede escribirse como \begin{equation} \frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \sin[\omega t] \coth[\alpha \omega/2] \text{d} \omega, \end{equation} y, a continuación, trató de usar Wolframalpha para evaluar la integral \begin{equation} \int_{0}^{\infty} \sin[\omega] \coth[\omega] \text{d} \omega, \end{equation} pero el resultado es que esta integral diverge.
Además sé que \begin{equation} \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \cos[\omega t] \text{d} \omega = \delta(t), \end{equation} Yo pensé que tal vez podría usar esto de la siguiente manera, a partir de la l.h.s. \begin{align} \pi\frac{\text{d}}{\text{d}t} \coth[\pi t/ \alpha] &= \pi\frac{\text{d}}{\text{d}t} \int_{R} \text{d} \mu \delta(t-\mu) \coth[\pi \mu/\alpha] \\ &= \frac{\text{d}}{\text{d}t}\int_{R} \text{d}\mu \int_{0}^{\infty} \text{d} \omega \cos[\omega(t-\mu)] \coth[\pi \mu/\alpha] \\ &= \frac{\text{d}}{\text{d}t} \int_{R} \text{d} \mu \int_{0}^{\infty} \text{d} \omega \cos[\omega \mu] \coth[\pi(\mu + t) /\alpha] \\ &= \int_{0}^{\infty} \text{d} \omega \int_{R} \text{d} \mu \cos[\omega \mu] \frac{\text{d}}{\text{d}\mu} \coth[\pi(\mu+ t)/\alpha], \end{align} y a partir de ahí yo realmente no sé qué hacer... Uno podría tratar de integración parcial, pero yo no veo que las de trabajo.
Cualquier ayuda para resolver esto sería muy apreciada!
