¿No es compacto cada subconjunto de un espacio compacto?

Question

Deje que$\mathfrak{C}$ sea una cubierta abierta de un espacio compacto topológico$X$, y deje que$\mathfrak{B}\subseteq \mathfrak{C}$ sea su subcapa finita. Entonces, cada subconjunto de$X$ también tiene la misma portada y subcapa. ¿No debería ser que cada subconjunto sea compacto?

Motivación: Leí en alguna parte que cada subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto. Me pregunto por qué no debería ser el caso para cada subconjunto de$X$, en lugar de solo los cerrados.

Answer 1

Entonces, cada subconjunto de$X$ también tiene la misma portada y subcapa.

Cada subconjunto de$X$ tiene la misma portada y subcubierta. Pero hay cubiertas del subconjunto que no cubrirían$X$. Esta cubierta podría no tener una sub-cubierta. Los ejemplos se indican arriba.

Answer 2

El punto es que TODAS las portadas de admitir un finito subcover, y sólo porque esto es cierto para el espacio ambiente, no quiere decir que sea cierto para cada subconjunto.

Por lo tanto, dado un espacio compacto $X$ $U \subset X$ arbitrarias, se empieza con una cubierta abierta de a $U$, e intentar encontrar un número finito de subcover de ella.
Pero no todas las portadas de $U$ proviene de una cubierta de $X$, ni siquiera si $U \subset X$ está abierto. Considere la posibilidad de $X=[0,1] \subset \Bbb{R}$, e $U=(0,1) \subset [0,1]$ y la cubierta $$ U=\bigcup_{i=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n},1-\frac{1}{n} \right) $$

No hay apertura de la tapa de $[0,1]$, lo que restringe a el por encima de la cubierta en $(0,1)$.

Answer 3

No todas las cubiertas abiertas del subconjunto de$X$ son cubiertas de$X$. Por ejemplo, vamos a$X=[0, 1]$. Entonces$(0, 1)$ es un subconjunto de$X$. Si tomamos$A_n =(1/n, 1),\, n=2, 3, \ldots$, entonces$A_n,\, n=2, 3, 4, \ldots$ es una cobertura de$(0, 1)$ pero no de$X$.

Answer 4

Los grandes problemas aquí son

1. Los conjuntos abiertos de un subespacio no siempre están abiertos en el espacio más grande.
2. Es posible que los conjuntos abiertos que agregue para obtener una cobertura de todo el espacio tengan que ser muy grandes y contener infinitos conjuntos de subespacios. Estos grandes conjuntos abiertos a menudo se eligen de forma preferente en la subcapa finita, como en la compactación de un punto de un espacio discreto.