Sus preguntas en su mayoría han sido ya contestadas en los comentarios, ya que he recopilado las respuestas de las distintas fuentes siempre y añadió que un equipo de búsqueda.
Su sistema
$$\binom{n}{k+1}=2\binom{n}{k}$$
$$\binom{n}{k+2}=3\binom{n}{k}$$
es un caso especial de una progresión aritmética de tres consecutivos de los coeficientes binomiales. En la respuesta a la Generalizada Caso: Tres Consecutivos Coeficientes Binomiales en AP (vinculados por hipergeométrica en un comentario), Jack se muestra que los triples consecutivos de los coeficientes binomiales en progresión aritmética forman la familia
$$
\binom{a^2-2}{\binom a2-2},\binom{a^2-2}{\binom a2-1},\binom{a^2-2}{\binom a2}
$$
con $a\ge3$ un entero. La relación del segundo miembro de la primera es
$$
\frac{a^2-\binom a2}{\binom a2-1}=\frac{a^2+a}{a^2-a-2}\;,
$$
que toma los valores de $3,2,\frac53,\frac32$$a=3,4,5,6$, respectivamente. Por lo tanto su triple
$$
\binom{14}4,\binom{14}5,\binom{14}6
$$
es el único que cumple con su sistema, pero hay uno más triple,
$$
\binom71,\binom72,\binom73\;,
$$
que cumpla con el entero sistema de
$$\binom{n}{k+1}=3\binom{n}{k}$$
$$\binom{n}{k+2}=5\binom{n}{k}$$
y uno triple que al menos tiene una relación entero para el tercer miembro (y medio de relación entero para el segundo):
$$
\binom{34}{13},\binom{34}{14},\binom{35}{15}\;,
$$
que cumple el sistema
$$\binom{n}{k+1}=\frac32\binom{n}{k}\;,$$
$$\binom{n}{k+2}=2\binom{n}{k}\;.$$
Esto responde a su primera pregunta. Su segunda pregunta, si hay más soluciones para
$$
\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k+2}\;,
$$
es respondida en el artículo de la Wikipedia en Singmaster la conjetura de que vinculó a sí mismo en un comentario: Singmaster él probó en Repetidas Coeficientes Binomiales y los Números de Fibonacci en $1975$ que hay infinitamente muchas soluciones, a saber:$n=F_{2i+2}F_{2i+3}-1$, $k=F_{2i}F_{2i+3}-1$ ( donde $F_n$ $n$- ésimo número de Fibonacci).
Su tercera pregunta, sobre progresiones aritméticas de longitud $3$ en las filas del triángulo de Pascal, ya ha sido contestada por Jack en cuanto a entradas consecutivos. Si admitimos arbitrarios, no necesariamente consecutivos de entradas, parece que no hay rigor de los resultados, pero no son interesantes valores numéricos. OEIS secuencia A062730, que Edward vinculado en un comentario, los estados que hasta el $1000$-ésima fila, de progresiones aritméticas, salvo por una excepción, pertenecen a dos familias. Una familia es, por supuesto, la anteriormente descrita; el otro es bastante similar,
$$
\binom{a^2-4}{\binom a2-4},\binom{a^2-4}{\binom a2-2},\binom{a^2-4}{\binom a2}\;,
$$
con $a\ge4$ un entero. La excepción es
$$
\binom{19}4,\binom{19}6,\binom{19}7\;.
$$
Hice un equipo de búsqueda arriba a la $10000$-ésima fila y no encontró más excepciones. (Aquí está el código.)
Con respecto a la cuarta pregunta acerca de la aritmética secuencias de longitud $4$, estoy de acuerdo con su respuesta negativa, pero la razón por la que usted da no es del todo correcta. La "segunda derivada" del coeficiente binomial con respecto a los de menor índice no es negativo en todo; ya que con el aumento de la parte superior del índice de la distribución binomial cada vez más se asemeja a una distribución Gaussiana, la "segunda derivada" cambia de positivo a negativo y de vuelta a positivo en el hecho de otro modo no podría ser de cualquier aritmética de las secuencias de longitud $3$. Sin embargo, una determinada línea cruza esta curva en forma de campana en más de tres veces, por lo que no puede ser aritmética de las secuencias de longitud $4$ de entradas consecutivos. Nada riguroso parece ser conocido acerca de la aritmética secuencias de longitud $4$ no necesariamente consecutivos de entradas, pero el equipo de búsqueda muestra que no hay ninguno hasta el $10000$-ésima fila.
