calcula $ \lim_ {t \rightarrow1 ^+} \frac { \sin ( \pi t)}{ \sqrt {1+ \cos ( \pi t)}}$

Question

Cómo calcular $$ \lim_ {t \rightarrow1 ^+} \frac { \sin ( \pi t)}{ \sqrt {1+ \cos ( \pi t)}}$$ ? He tratado de usar L'Hospital, pero luego me

$$ \lim_ {t \rightarrow1 ^+} \frac { \pi\cos ( \pi t)}{ \frac {- \pi\sin ( \pi t)}{2 \sqrt {1+ \cos ( \pi t)}}}= \lim_ {t \rightarrow1 ^+} \frac {2 \pi\cos ( \pi t) \sqrt {1+ \cos ( \pi t)}}{- \pi\sin ( \pi t)}$$ y esto no me lleva más lejos. ¿Alguna idea?

Answer 1

$$ \lim_ {t \rightarrow1 ^+} \frac { \sin ( \pi t)}{ \sqrt {1+ \cos ( \pi t)}}= \lim_ {t \rightarrow1 ^+} \frac { \sin ( \pi t)}{ \sqrt {1+ \cos ( \pi t)}} \frac { \sqrt {1- \cos ( \pi t)}}{ \sqrt {1- \cos ( \pi t)}}= \lim_ {t \rightarrow1 ^+} \frac { \sin ( \pi t) \sqrt {1- \cos ( \pi t)}}{ \sqrt { \sin ^2( \pi t)}}$$

P.D. Preste atención a la señal de $ \sin ( \pi t)$ .

Answer 2

Esto no es una solución, sino un comentario sobre la afirmación de que el cálculo de la Regla de L'Hospital $$ \lim_ {t \rightarrow1 ^+} \frac { \pi\cos ( \pi t)}{ \frac {- \pi\sin ( \pi t)}{2 \sqrt {1+ \cos ( \pi t)}}}= \lim_ {t \rightarrow1 ^+} \frac {2 \pi\cos ( \pi t) \sqrt {1+ \cos ( \pi t)}}{- \pi\sin ( \pi t)}$$ no nos lleva más lejos.

Deje que $L$ ser el límite original, asumido para existir y ser no-cero-cero. Ahora mira el lado derecho de la expresión que alcanzaste. El $ \pi $ se cancela. El término $ \cos ( \pi t)$ se aproxima sedentemente $-1$ cancelando el signo menos. Y el resto tiene un límite $ \dfrac {1}{L}$ ! Lo que viste como un defecto se convierte en una virtud.

Concluimos que $L=2 \cdot \dfrac {1}{L}$ . Así $L= \pm \sqrt {2}$ y un rápido examen de los signos muestra que necesitamos el negativo, ya que un poco más allá de $ \pi $ El seno es negativo.

No soy partidario de este enfoque, ya que hay detalles de la existencia que hay que rellenar, y se podría llegar fácilmente a una conclusión incorrecta. De todos modos, hay un simple cálculo no de L'Hospital que rápidamente da la respuesta.

Answer 3

Te mostraré un truco: ya que $t \to 1^+$ sabes que $ \pi t \to \pi ^+$ así que $( \pi t - \pi ) \to 0^+$ .

En primer lugar hacer el cambio de variable $u= \pi t- \pi $ así que tienes $ \pi t=u- \pi $ . Luego $ \sin ( \pi t)= \sin (u- \pi )=- \sin u$ y $ \cos ( \pi t)= \cos (u- \pi )=- \cos u$ . Así que tu límite se convierte en

$$ \lim_ {u \to 0^+} \frac {- \sin u}{ \sqrt {1- \cos u}}= - \lim_ {u \to 0^+} \sqrt { \frac { \sin ^2 u}{1- \cos u}}= - \lim_ {u \to 0^+} \sqrt {1+ \cos u}=- \sqrt {2} $$

La primera igualdad se justifica porque $ \sin u>0$ para $0<u< \pi $ (y estás interesado en un vecindario adecuado de $0$ ).

Los límites en cero son "psicológicamente" mejores, ¿no? Realmente no hay ninguna diferencia con hacer el límite en $ \pi $ o usando $ \pi t$ pero la región alrededor de $0$ es más conocido.

Answer 4

En la expresión original, usa la ecuación de medio ángulo en el denominador, y la ecuación de doble ángulo en el numerador. Luego $ cos( \pi t/2) $ se cancela, y la expresión original es igual a menos $ \sqrt 2 sin( \pi t/2) $