$E(X)>E(Y)$ siempre implica que$P[X>Y]>0$

Question

Probar o refutar: "Si$E(X)>E(Y)$ entonces$P[X>Y]>0$

Lo que intenté: -

Estoy usando la contradicción. Supongamos que$E(X)>E(Y)$. Asumimos que $P[X>Y]=0$

Ahora, tenemos \begin{equation} \begin{aligned} &P[X>Y]=0\\ \Rightarrow & P[(X-Y)>0]=0 \\ \Rightarrow & P[Z>0]=0 \qquad \mbox{where}\quad Z=X-Y \end {alineado} \ fin {equation} La última ecuación implica que \begin{equation} \begin{aligned} & Z\le 0 \\ \Rightarrow & E(Z)\le 0 \\ \Rightarrow & E(X-Y)\le 0 \\ \Rightarrow & E(X)\le E(Y)\\ \end {alineado} \ fin {equation} que es una contradicción. Por lo tanto debemos tener$P[X>Y]>0$

Answer 1

Se ve bien.

Solo que escribiría$$Z \le 0 ~ W.P. 1$ $

en lugar de solo$Z \le 0$. Aún podemos tener un conjunto nulo que tome valores positivos, pero no influiría en$E[Z]$.