Me preguntó la pregunta equivocada aquí, por mi culpa :(
¿Cómo hace uno para ver, el uso de $n! = \prod_{k=1}^\infty \left(\frac{k+1}{k}\right)^n \frac{k}{k+n}$, que
$$\left(\frac{1}{2}\right)! = \prod_{k=1}^\infty \left(\frac{k+1}{k}\right)^{\tfrac{1}{2}}\left( \frac{k}{k+\tfrac{1}{2}}\right) = \tfrac{1}{2}\sqrt{2 \cdot \left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5}\dotsm \right)}? $$
En otras palabras, se derivan
$$ \prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^2}{(2k+1)(2k-1)}\right)$$
mientras que la manipulación
$$\prod_{k=1}^\infty \left(\frac{k+1}{k}\right)^{\tfrac{1}{2}}\left( \frac{k}{k+\tfrac{1}{2}}\right)$$
Nota: esta es una manera de 'derivar' el producto de Wallis
$$ \tfrac{1}{2}\sqrt{2 \cdot \left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5}\dotsm \right)} = \frac{\sqrt{2 \tfrac{\pi}{2}}}{2} = \frac{\sqrt{ \pi}}{2}$$
Se deben seguir, "después de un poco de manipulación", pero no! Me debe faltar algo!
Edit: ahora creo que no es posible directamente!!!
