Matriz cuadrada

Question

¿Me podrian dar un ejemplo de una matriz cuadrada de $A\in \mathcal{M}{2 \times 2}$ $\mathcal{M}{3 \times 3}$ para los que tenemos $|Ax-Ay|\le |x-y|$, $ \ \ x, y \in {0, e_1, . . . , e_n}, \ \ e_1, . . . , e_n$ - base canónica de $\mathbb{R}^n$, $|\cdot|$ es la norma euclidiana, $|Az| > |z|$ para un cierto vector $z$?

Creo que $A = \left (\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{3} \ 0 & 1 \end{matriz} \right) $ will be good for the first case, but I have problem for the case where matrix has degree $$%3.

Answer 1

Nota: Mi respuesta original contenía un error; corregir el error que llevó a este la solución más sencilla. La mayoría de los comentarios siguientes se refieren a la respuesta original.

Usted puede proyectar sobre el subespacio de vectores con entradas de constantes, utilizando una matriz con entradas de constantes. A continuación, $Ae_i$ es el mismo para todos los $e_i$, de modo que el lado izquierdo de la desigualdad es $0$ menos que uno de $x$, $y$ es $0$, caso en el cual la desigualdad se cumple si usted toma menos de $\sqrt n$ los tiempos de la proyección ortogonal. Por otro lado, usted puede hacer $\lVert Az\rVert/\lvert z\rVert$ nada de $1$ $\sqrt n$ $z$un vector constante de entradas mediante el correspondiente múltiples de la proyección ortogonal.