Suma de números consecutivos de $n$ divididos por $n$

Question

Yo estaba tratando de escribir un poker programa de ayer, y tratando de averiguar una manera de decirle a la computadora cómo detectar una recta. Me di cuenta de que, si añades $5$ consecutivos de números y dividir por $5$, no obtendrá el resto. Traté de $6$ números consecutivos, pero no funcionó. Resulta que solo funciona para los números impares. Realmente la pregunta tonta, pero ¿este 'método' tiene un nombre? Se ha comprobado que para todos los impares $n$, la suma de cualquiera de las $n$ números consecutivos dividido por $n$ se obtiene un remanente de cero?

Answer 1

Sí, si $n=2k+1$, escriba los números como

$a - k, a-(k-1), \dots,a-1, a, a + 1, \dots, a+(k-1), a+k$

Agregar le $na$ que es divisible por $n$.

Probar algo similar incluso $n =2m$ y ver que la suma es $m \mod n$, que no es divisible por $n$.

Answer 2

Esta página tiene una prueba para el mismo. También incluye la prueba que cuando $n$ aun así esto no es cierto.

Answer 3

SUGERENCIA $\ $ La suma es $\rm\ 0 + 1 +\:\cdots\:+\: n-1\ \ (mod\ n)\:.\: $ Emparejamiento de cada sumando $\ne 0\:$ con su negación muestra que la suma es $\rm\: \equiv 0\ \ (mod\ n)\:.\ \ $ Nota: $\rm\ - x\ \equiv\ x\ \Rightarrow\ 2\ x \equiv 0\ \Rightarrow\ x\equiv 0\ \:$ desde $\rm\:n\:$ es impar.

Si $\rm\:n\:$ es incluso entonces, el argumento anterior demuestra simplemente que la suma se reduce a la suma de los puntos fijos de la negación mapa, viz. $\rm\ 0,\ n/2\:.\ $ Por lo tanto la suma es $\rm\:\equiv n/2\ \ (mod\ n)\:.$

Este es un caso especial de Wilson del teorema de grupos, por ejemplo, ver aquí y aquí- que ponen de relieve el papel clave desempeñado por la reflexión de la involución de simetría (aquí la negación $\rm\ x\to -x\:$).