Soluciones a la medida!

Question

Encuentre todas las soluciones para$$\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}+\dfrac{1}{\lfloor 2x\rfloor}=\{x\}+\dfrac{1}{3}$ $

$$$ $ Lamentablemente no tengo idea de cómo hacerlo. Al reorganizar, obtuve$$3\lfloor 2x\rfloor = 3\lfloor x\rfloor\{x\}-2\lfloor x\rfloor$ $ No estoy seguro de qué hacer con el término$3\lfloor 2x\rfloor $; Prefiero resolverlo en términos de$\lfloor x\rfloor $ pero no puedo. Todo lo que me llamó la atención fue usar la identidad para$\lfloor nx\rfloor, n\in \Bbb Z$. Sin embargo, a primera vista, no me pareció particularmente útil.$$$ $ Le agradecería cualquier ayuda. ¡Muchas gracias!

Answer 1

ps

Tenemos$$\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}+\dfrac{1}{\lfloor 2x\rfloor}=\{x\}+\dfrac{1}{3}\tag1$ y$\lfloor x\rfloor$, por lo que una forma es separarlo en dos casos:

Caso 1:$\lfloor 2x\rfloor$ donde$x=n+\alpha$

Caso 2:$n\not=0\in\mathbb Z,0\le\alpha\lt 1/2$ donde$x=n+\alpha$

Para el caso 1,$n\not=0\in\mathbb Z,1/2\le\alpha\lt 1$ $

Creo que se puede hacer para el caso 2 de manera similar.

Answer 2

Este es un horrible pregunta!

Para $x<0$, el lado izquierdo es negativo y el lado derecho es positivo, por lo que no hay soluciones para $x<0$. Para $0\le x< 2$ LHS es, al menos,$1+\frac{1}{3}$, mientras que el lado derecho es siempre $<1+\frac{1}{3}$, por lo que no hay soluciones para $x<2$.

Ahora, considere el rango de $2\le x<2.5$. El LHS es $0.75$. Así que esto es igual a la RHS por $x=2\frac{5}{12}$. Hay claramente no hay más soluciones para $x<3$ debido a que el lado izquierdo es decreciente y el RHS en aumento.

$3\le x<3.5$. El LHS es $0.5$, así que esto es igual a la RHS por $x=3\frac{1}{6}$. De nuevo no hay más soluciones para $x<4$.

$4\le x<4.5$. El LHS es $0.375$, así que esto es igual a la RHS por $x=4\frac{1}{24}$. De nuevo no hay más soluciones para $x<5$.

$x\ge5$. El LHS $\le\frac{3}{10}<\frac{1}{3}\le$ HR, por lo que no hay más soluciones.