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Soluciones a la medida!

Encuentre todas las soluciones para$$\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}+\dfrac{1}{\lfloor 2x\rfloor}=\{x\}+\dfrac{1}{3}

$ $ Lamentablemente no tengo idea de cómo hacerlo. Al reorganizar, obtuve3\lfloor 2x\rfloor = 3\lfloor x\rfloor\{x\}-2\lfloor x\rfloor No estoy seguro de qué hacer con el término3\lfloor 2x\rfloor ; Prefiero resolverlo en términos de\lfloor x\rfloor pero no puedo. Todo lo que me llamó la atención fue usar la identidad para\lfloor nx\rfloor, n\in \Bbb Z. Sin embargo, a primera vista, no me pareció particularmente útil.$$ Le agradecería cualquier ayuda. ¡Muchas gracias!

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mathlove Puntos 57124

ps

Tenemos$$\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}+\dfrac{1}{\lfloor 2x\rfloor}=\{x\}+\dfrac{1}{3}\tag1 y\lfloor x\rfloor$, por lo que una forma es separarlo en dos casos:

Caso 1:\lfloor 2x\rfloor dondex=n+\alpha

Caso 2:n\not=0\in\mathbb Z,0\le\alpha\lt 1/2 dondex=n+\alpha

Para el caso 1,n\not=0\in\mathbb Z,1/2\le\alpha\lt 1 $

Creo que se puede hacer para el caso 2 de manera similar.

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almagest Puntos 1994

Este es un horrible pregunta!

Para x<0, el lado izquierdo es negativo y el lado derecho es positivo, por lo que no hay soluciones para x<0. Para 0\le x< 2 LHS es, al menos,1+\frac{1}{3}, mientras que el lado derecho es siempre <1+\frac{1}{3}, por lo que no hay soluciones para x<2.

Ahora, considere el rango de 2\le x<2.5. El LHS es 0.75. Así que esto es igual a la RHS por x=2\frac{5}{12}. Hay claramente no hay más soluciones para x<3 debido a que el lado izquierdo es decreciente y el RHS en aumento.

3\le x<3.5. El LHS es 0.5, así que esto es igual a la RHS por x=3\frac{1}{6}. De nuevo no hay más soluciones para x<4.

4\le x<4.5. El LHS es 0.375, así que esto es igual a la RHS por x=4\frac{1}{24}. De nuevo no hay más soluciones para x<5.

x\ge5. El LHS \le\frac{3}{10}<\frac{1}{3}\le HR, por lo que no hay más soluciones.

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