Aceleración en la relatividad especial

Question

Actualmente estudio el movimiento de las partículas cargadas relativistas en campos electromagnéticos. Más exactamente, primero derivamos la ecuación del movimiento en el formalismo de 4 vectores.

Estaba un poco confundido cuando mi profesor hablaba de la aceleración en la relatividad especial. ¿En qué casos se puede hablar de ella específicamente en la relatividad especial? (Quiero decir que aún no he estudiado la relatividad general) ¿Qué se mantiene constante? ¿O estamos haciendo una aproximación?

Por supuesto que puede tener un sentido, aunque tengo la sensación de que en mis cursos sólo se hablaba de velocidades constantes en la relatividad especial.

Espero que mi pregunta tenga sentido,

Isaac

Answer 1

La aceleración es un tema aceptable en la relatividad especial. Es bastante fácil de describir. La métrica para el espaciotiempo plano es $$ ds^2~=~-dt^2~+~dx^2~+~dy^2~+~dz^2~=~g_{ab}dx^adx^b. $$ Si divido por el cuadrado del tiempo propio $ds^2$ esto da la unidad $$ 1~=~g_{ab}\frac{dx^a}{ds}\frac{dx^b}{ds}~=~g_{ab}U^aU^b. $$ Una derivada con respecto al tiempo propio $s$ da 0 en el lado izquierdo y la aceleración del espaciotiempo $A^a$ se ve claramente que es ortogonal a las cuatro velocidades $U^a$ .

Si restrinjo esto a dos dimensiones, donde la dimensión espacial de importancia es la dirección en que se mueve el objeto a lo largo de la métrica en una convención de cambio de firma nos da $$ 1~=~(U^t)^2~-~(U^x)^2 $$ La ecuación implica que las dos componentes de la cuatro-velocidad son funciones trigonométricas hiperbólicas $$ U^x~=~\sinh gs,~U^t~=~\cosh gs, $$ para $g$ el parámetro de aceleración. El movimiento de este cuerpo asimila una dirección nula $u~=~t~-~x$ y es un hiperboloide restringido a esta parte del espaciotiempo de Minkowski. Esta parte se llama la cuña de Rindler, que tiene todo tipo de estructura sorprendente, desde la representación de coordenadas de Fermat que es una forma de medio plano de Poincare, hasta la radiación de Unruh.

Hay cierta confusión con respecto a los marcos acelerados en la relatividad especial. Se suele pensar que es el ámbito de la relatividad general. La relatividad especial debe considerarse como las leyes de Newton con la extensión de las simetrías de impulso en el espacio más el tiempo. Entonces, al igual que con las leyes de Newton, las simetrías se describen correctamente desde un marco inercial, y la dinámica es $F~=~ma$ . La descripción del movimiento acelerado para la segunda ley de Newton en la relatividad especial es una física perfectamente aceptable.

Answer 2

Hay tres cosas que se pueden hacer utilizando la relatividad: (1) describir un objeto que se acelera en el espaciotiempo plano; (2) adoptar un marco de referencia, en el espaciotiempo plano, que se acelera; (3) describir el espaciotiempo curvo. La relatividad general sólo es necesaria para el punto 3.

La prohibición del número 1 es especialmente tonta. Convertiría a la RS en una teoría trivial incapaz de describir las interacciones. Si creyeras esto, tendrías que dejar de creer, por ejemplo, en la descripción especial-relativista del efecto Compton y de la estructura fina en el hidrógeno; estos fenómenos tendrían que ser descritos por alguna teoría de la gravedad cuántica aún no descubierta.

El número 1 aparece a menudo en los debates sobre la paradoja de los gemelos. Una buena manera de ver que la relatividad general es totalmente innecesaria para entender la paradoja de los gemelos es plantear una versión en la que la ecuación de cuatro vectores a=b+c representa la línea del mundo del gemelo no acelerado a y la línea del mundo del gemelo acelerado que consiste en los desplazamientos b y c. El gemelo acelerado está sometido a aceleraciones (teóricamente) infinitas en los vértices del triángulo. La desigualdad del triángulo para el espaciotiempo plano se invierte en comparación con la del espacio plano euclidiano, por lo que el tiempo propio |a| es mayor que el tiempo propio |b|+|c|.

Número 2, acelerado marcos es menos trivial. Es por razones históricas que verás afirmaciones de que la RS no puede manejar marcos acelerados. Einstein publicó la relatividad especial en 1905 y la general en 1915. Durante ese período de diez años entre ambas publicaciones, nadie sabía realmente cuáles eran los límites de aplicabilidad de la relatividad especial. Esta incertidumbre se abrió paso en los libros de texto y en las clases, y debido a la naturaleza conservadora de la educación, algunos estudiantes siguen escuchando, un siglo después, afirmaciones incorrectas al respecto. Existe un consenso abrumador entre los relativistas modernos de que el límite entre la RS y la RG debe definirse como la distinción entre el espaciotiempo plano y el curvo, no entre observadores no acelerados y acelerados [MTW 1973,Penrose 2004,Taylor 1992,Schutz 2009,Hobson 2005].

En un marco acelerado, el principio de equivalencia nos dice que las mediciones saldrán igual que si hubiera un campo gravitatorio. Pero si el espaciotiempo es plano, describirlo en un marco de aceleración no lo hace curvo. (La curvatura es invariante bajo cualquier transformación suave de coordenadas.) Por tanto, la relatividad nos permite tener campos gravitatorios en un espacio plano --- pero sólo para ciertas configuraciones especiales como los campos uniformes. La teoría de la relatividad es capaz de funcionar perfectamente en este contexto. Por ejemplo, Chung et al. hicieron una prueba de alta precisión de la RS en 2009 utilizando un interferómetro de materia en un plano vertical, específicamente para comprobar si había alguna violación de la invariancia de Lorentz en un campo gravitatorio uniforme. Su experimento se interpreta puramente como una prueba de la RS, no de la RG.

MTW 1973 -- Misner, Thorne y Wheeler, Gravitation, 1973, p. 163: "El movimiento acelerado y los observadores acelerados pueden analizarse utilizando la relatividad especial", p. 164: "Un observador acelerado puede llevar consigo relojes y varas de medir, y puede utilizarlos para establecer un marco de referencia (sistema de coordenadas) en su vecindad."

Penrose, The Road to Reality, 2004, p. 422, "Se solía argumentar con frecuencia que sería necesario pasar a la relatividad general de Einstein para manejar la aceleración, pero esto es completamente erróneo. [...] Estamos trabajando en la relatividad especial siempre que [la] métrica sea la métrica plana de la Geometría de Minkowski M".

Taylor y Wheeler, Spacetime Physics, 1992, p. 132: "¿Necesitamos la relatividad general? ¡NO! [...] '¿No se necesita la relatividad general para analizar los sucesos en los marcos de referencia acelerados?' 'Oh, sí, la relatividad general puede describir los sucesos en el marco acelerado', respondemos, '¡pero también lo puede hacer la relatividad especial si la tomamos por pasos sencillos!'"

Schutz, A First Course in General Relativity, 2009. Schutz se equivoca en las páginas 3 y 141 sobre el estatus de los observadores acelerados en la RS, pero dice: "[...] la verdadera distinción física entre estas dos teorías es que la relatividad especial (RS) es capaz de describir la física sólo en ausencia de campos gravitacionales, mientras que la relatividad general (RG) extiende la RS para describir la gravitación misma."

Hobson, General Relativity: An Introduction for Physicists, 2005, sec. 1.14, discute los "Horizontes de sucesos en la relatividad especial" desde el punto de vista de los observadores acelerados, utilizando coordenadas definidas en sus marcos de referencia acelerados.

Chung http://arxiv.org/abs/0905.1929

Answer 3

Es perfectamente posible tener partículas aceleradas en la relatividad especial de la misma manera que se pueden tener en la física clásica newtoniana.

Sin embargo, para describirlos se necesitan algunas de las herramientas y conceptos de geometría diferencial que se utiliza comúnmente en la relatividad general. Por ejemplo, si se quiere describir la física en el marco de referencia del observador que acelera, éste ya no es inercial y ya no se puede utilizar la simple matemática de las transformaciones lineales de Lorentz porque también hay que tener en cuenta los efectos no lineales (algunos de los cuales ya están presentes en el caso clásico, como las fuerzas centrífugas y de Coriolis).

Así que lo que debes hacer es describir la línea del mundo de la partícula como una curva $\gamma(\lambda)$ (parametrizado por algún parámetro afín). A continuación se puede calcular la velocidad de la partícula ${\mathbf v} = {{\rm \mathbf d}\gamma(\lambda) \over {\rm d} \lambda}$ como un campo tangente a lo largo de la línea del mundo y la aceleración ${\mathbf a} = {{\rm D} {\mathbf v} \over {\rm d} \lambda} $ como una derivada covariante de la velocidad a lo largo de la línea del mundo; aquí estamos utilizando implícitamente que tenemos una conexión plana disponible en nuestra variedad. Trabajando hacia atrás, se puede postular que la partícula debe tener una determinada aceleración debida a las fuerzas y calcular su trayectoria (de la misma manera que se hace en la física clásica).

Si quieres averiguar información adicional puedes elegir algún sistema de coordenadas en el punto $\lambda = \lambda_0$ . Entonces puede utilizar Transporte Fermi-Walker para transportar este sistema a lo largo de la línea del mundo que le da información sobre la forma en que la partícula está girando, etc.

Answer 4

A la pregunta de Isaac - sí, su pregunta tiene una cantidad ENORME de sentido. Es la cuestión fundamental de la relatividad - ¿puede la RS describir una situación con algo que sufre aceleración?

Todo el mundo afirma siempre que la respuesta es afirmativa siempre que utilicemos un marco inercial. Pero luego van y proceden con lo siguiente: la trayectoria del mundo invariante (ya que un marco es propio) $$ds^2 = d\tau^2 = dt^2 - (dx^2 + dy^2 + dz^2)$$ y a partir de esto proceden a derivar la paradoja de los gemelos dividiendo por $dt^2$ y luego integrar para obtener una ecuación que muestre la dilatación del tiempo (pero quizás sin separar la dilatación debida a los efectos v/c de la dilatación real debida a la aceleración. Pero lo que me preocupa es que no creo que $ds^2$ es invariable ya que se basa en la constancia de la velocidad de la luz (básicamente es un rayo de luz visto desde dos inercial observadores). ¿No es esto "hacer trampa"? O es que la mayoría de la gente está haciendo esto a nivel diferencial a lo largo de una trayectoria y luego haciendo lo que debería ser una integral muy cuidadosa a lo largo de esa trayectoria (aunque ahora se convierta en integrales definidas en el tiempo). Un marco se mueve puramente en el tiempo (el marco propio) por lo que si $c$ se toma como 1, $ds$ est $d\tau$ (es decir, un diferencial de tiempo propio). Esto hace que sea fácil establecer una comparación entre los tiempos transcurridos. Pero creo que es incorrecto hacer esto a menos que hablemos con mucho cuidado de la invariancia de las líneas del mundo. lo que me gustaría es que alguien o yo probáramos de alguna manera que podemos tomar un límite a un infinitesimal y de alguna manera seguir usando el rayo de luz en expansión (que es básicamente la transformación de Lorentz). Me preocupa mucho esto ya que si algo se acelera, la velocidad de la luz es ya no una constante. ¿Alguien puede elegir una de las referencias anteriores que realmente se refiera a esta idea?

Probablemente Schutz tenga razón cuando dice que hay que utilizar la RG. Sinceramente, creo que tiene razón pero no estoy del todo seguro. Si tengo que pasar el resto de mi vida en esto, lo haré, pero Jesús, es mucho trabajo probar toda esta basura. Tenemos que derivar la integral de $(1 - v(t)^2)$ a lo largo del tiempo y demostrar que es correcto. No creo que lo sea, pero aparece por todas partes.

Si puedes responder a esto, me quitaré el sombrero - estoy pensando que necesito saltar directamente a Einstein-Hilbert para algún tipo de campo mágico-consistente para que la luz pueda cambiar de velocidad. No veo que la RS resuelva estos problemas a menos que la estiremos como una membrana - creo que Lawrence B. Crowell estaba haciendo esto - ¿es su análisis la RS?

Lo de Marek tiene mucho sentido. Sabe que no podemos usar una invariante $ds^2$ (como es la transformación de Lorentz). Me gusta su respuesta.

Por favor, perdonen mis dos posts si es obvio que podemos usar la invariancia de Lorentz de $ds^2$ ya que es infinitesimal. Sólo necesito asegurarme, de ahí mi interés en comparar con la RG. No estoy tratando de analizar esto desde el marco no inercial (al menos todavía).

http://users.telenet.be/vdmoortel/dirk/Physics/Acceleration.html Si nos fijamos en el enfoque discutido en el enlace anterior, estamos analizando con la aceleración "sentida" en el marco de aceleración (esto mantiene las cosas realistas). Fíjate en lo fácil que era con los cuatro vectores. Originalmente había planeado simplemente originalmente había planeado hacerlo desde el punto de vista de una aceleración constante relativa al observador INTERTIAL (lo que hace que el problema sea muy fácil de plantear). Así que sólo tenemos que moler a través de una integral. Pero probablemente ilustraría el mismo concepto de dilatación del tiempo, sólo cuantitativamente diferente. Así que voy a lo haré de la forma más fácil, ahora que he leído la forma más realista (y más complejo debido al uso de la fórmula de adición de la velocidad en forma diferencial) manera de resolver el problema. Así que su formalismo es útil. Supongo que estamos insinuando a Euler-Lagrange aquí también, así que no estamos lejos de la RG. Así que para mojarme los pies mojarme los pies, me limitaré a moler a través de la forma más simple - francamente, no necesito repetir la de dirk van de moortel más que leerla para entender lo que está haciendo. Así que gracias a Dirk por su análisis. Por supuesto, nuestros análisis a casa el punto de que la mayor parte (si no todo) del efecto de dilatación del tiempo (incluso con la aceleración) entra a través de la velocidad (o mejor, la velocidad) así que esto me ayudará a entender y/o convencerme de ese punto también. Su uso de la constante en el marco del cohete es lo que querría un pasajero - una fuerza no cambiante en su cuerpo, para simular mejor la tierra.