Convergencia de $ \sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{a} \prod_{i=1}^{k}\frac{1}{1+i a}$ como $a \rightarrow 0$

Question

Usando la simulación numérica, puedo ver que $$ v(a)=\sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{a} \prod_{i=1}^{k}\frac{1}{1+i a} $$ converge a algún valor $1<v(a)<2$ como $a \rightarrow 0$ . Sin embargo, no he podido encontrar series delimitadoras para probarlo. ¿Alguien puede ayudar? Gracias.

Answer 1

Dotaré $z = a^{-1}$ y $f(z) = v(a)$ . Entonces tenemos

\begin {align*} f(z) &= z^{-1/2} \sum_ {n=1}^{ \infty } \prod_ {k=1}^{n} \frac {z}{k + z} = z^{-1/2} \sum_ {n=1}^{ \infty } z^{n} \frac { \Gamma (z+1)}{ \Gamma (z+n+1)} \\ &= z^{-1/2} \sum_ {n=1}^{ \infty } \frac {z^{n}}{ \Gamma (n)} \int_ {0}^{1} x^{z}(1-x)^{n-1} \N, dx \\ &= z^{1/2} \int_ {0}^{1} x^{z} e^{z(1-x)} \N, dx \\ &= \frac {e^{z}}{z^{z+1/2}} \int_ {0}^{z} t^{z} e^{-t} \N - dt. \qquad (t = zx) \end {align*}

Ahora bien, al observar que $ z! \sim \sqrt{2\pi} z^{z+1/2} e^{-z}$ y

$$ \int_{0}^{z} t^{z} e^{-t} \, dt \sim \frac{z!}{2} $$

como $z \to \infty$ se deduce que

$$ \lim_{a\to 0^{+}} v(a) = \lim_{z\to\infty} f(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx 1.2533141373155002512\cdots. $$