Sé que la exponenciación real es continua en el exponente ( $f(x)=a^x$ es continua), pero ¿cómo sabemos que la exponentación real es continua en la base?
Lo que quiero decir es que si $r$ es un número real arbitrario, ¿por qué la función $f(x):(0,\infty)\to\mathbb{R}$ dado por $f(x)=x^r$ ¿constante? Defino $$ x^r=\lim_{n\to\infty} x^{q_n} $$ donde $(q_n)$ es cualquier secuencia de racionales que convergen a $r$ .
Me he dado cuenta de que $\lim_{x\to 1}x^n=1$ para cualquier número entero $n$ Por lo tanto, el límite de un producto de funciones continuas es el producto del límite de cada función. Si $n$ es negativo, lo mismo se deduce tomando el límite de $1/x^{-n}$ .
Si $r$ es real, existen enteros $n,m$ tal que $n\leq r\leq m$ . Por el lema de la compresión, $$ 1=\lim_{x\to 1}x^n\leq\lim_{x\to 1}x^r\leq\lim_{x\to 1}x^m=1. $$ Así que creo que $\lim_{x\to 1}x^r=1$ para cualquier número real $r$ . ¿Puede esto ser manipulado para mostrar $f$ es continua en todo $(0,\infty)$ ?
Por favor, asuma que no sé nada de cálculo ni de $e$ o logaritmos, sólo resultados rudimentarios de límites en el análisis. Estoy tratando de evitar cualquier cosa como "desde $x^r$ es diferenciable, es continua, QED". Gracias.
