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Question

Estoy buscando probar lo siguiente $$ \ frac {1} {2} \ sum_ {i \ neq j} S_ {ij} = \ sum_ {i <j} S_ {ij}, \ qquad S_ {ij} = S_ {Ji}. $$ No estoy seguro de cómo entender por qué funciona. Gracias

Answer 1

Insinuación:

$$ \ newcommand {\ t} {\ times} \begin{array}{cccccc} {} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & {\Large\circ} & \t & \t & \t & \t \\ 2 & \t & {\Large\circ} & \t & \t & \t \\ 3 & \t & \t & {\Large\circ} & \t & \t \\ 4 & \t & \t & \t & {\Large\circ} & \t \\ 5 & \t & \t & \t & \t & {\Large\circ} \end {array} $$

Answer 2

Esto solo es cierto si las cosas$a_{ij}$ que se suman (faltan en su pregunta) son simétricas con respecto a$i$ y$j$, es decir,$a_{ji} = a_{ij}$.

Por ejemplo, si$1 \le i, j \le 3$, entonces$\sum_{i\ne j} a_{ij} = a_{12} + a_{13} + a_{21} + a_{23} + a_{31} + a_{32}$, mientras que$\sum_{i < j} a_{ij} = a_{12} + a_{13} + a_{23}$ y$\sum_{i > j} a_{ij} = a_{21} + a_{31} + a_{32}$.

Ahora, si tenemos simetría, entonces$a_{21} + a_{31} + a_{32} = a_{12} + a_{13} + a_{23}$. ¿Te parece familiar?

Answer 3

Desde$S_{ji}=S_{ij}$, y si es$i\ne j$, entonces$i\lt j$ o$j\lt i$ $$ \begin{align} \sum_{i\ne j}S_{ij} &=\sum_{i\lt j}(S_{ij}+S_{ji})\\ &=2\sum_{i\lt j}S_{ij} \end {align} $$