Conjunto de distribución de los $X_1/(X_1+X_2)$ y $X_2/(X_1+X_2)$ % independiente variables al azar exponenciales $X_1$y $X_2$

Question

Si $X_i$, $i=1,2$, son variables aleatorias de independiente $gamma(\alpha_i,1)$. Encontrar la distribución conjunta de $X_1/(X_1+X_2)$ y $X_2/(X_1+X_2)$. Estoy tratando de utilizar método de transformación para resolverlo.

Que $U=X_1/(X_1+X_2)$ y $V=X_2/(X_1+X_2)$, pero no podemos representar $X_1=g_1(U,V)$ o $X_2=g_2(U,V)$

Answer 1

Como dije en mis comentarios, $W = \frac{X_1}{X_1+X_2}$ y $Z = \frac{X_2}{X_1+X_2}$ no tiene una articulación de densidadfunción de (conjunta pdf), y todos los que la probabilidad de masa se encuentra en los segmentos de línea con el fin puntos de $(0,1)$$(1,0)$. Usted puede trabajar fuera de la articulación de la distribución de la función (joint CDF) $F_{W,Z}(w,z)$ (que, por cierto, es lo que la pregunta pide ) con bastante facilidad. Algunos valores pueden ser sofocada por la inspección:

$$F_{W,Z}(w,z) = \begin{cases} 0, & w \leq 0 ~\text{or}~ z \leq 0 ~\text{or}~ w+z \leq 1,\\ 1, & w \geq 1 ~\text{and}~ z \geq 1. \end{casos}$$

Para $0 < w < 1, z > 1$, \begin{align} F_{W,Z}(w,z) &= P\{W \leq w, Z \leq z\}\\ &= P\left\{\frac{X_1}{X_1+X_2} \leq w, \frac{X_2}{X_1+X_2} \leq z\right\}\\ &= P\left\{\frac{X_1}{X_1+X_2} \leq w\right\}\\ \end{align} y usted dice que sabe cómo calcular la probabilidad de que el pasado ya que dicen en un comentario sobre tu pregunta de que "no es difícil encontrar el pdf de uno de ellos".

Del mismo modo, para $w > 1, 0 < z < 1$, $$F_{W,Z}(w,z) = P\left\{\frac{X_2}{X_1+X_2} \leq z\right\} = P\left\{1-z \leq \frac{X_1}{X_1+X_2}\right\}$$ lo que usted dice que usted puede calcular. Finalmente, para el región $0 < w,z < 1, w+z > 1$, tenemos que $$F_{W,Z}(w,z) = P\left\{1 - z \leq \frac{X_1}{X_1+X_2} \leq w\right\}$$ que también puede ser calculada. Por lo tanto, hemos encontrado que el conjunto de CDF para$W$$Z$. Tenga en cuenta que sólo en el último caso anterior es $F_{W,Z}(w,z)$ una función de ambos $w$ $z$ , pero incluso aquí, $\displaystyle \frac{\partial^2F_{W,Z}(w,z)}{\partial w\partial z}$ siempre es $0$ lo que añade credibilidad a la afirmación de que $W$ $Z$ no tiene una articulación de la densidad de la función.

Answer 2

Usted puede encontrar la distribución de uno de ellos utiliza jacobiano, y si elegiste $U$ $\beta(\alpha_1,\alpha_2)$ distribución seguirá. Y como usted puede cee $U$ y $V$ agrega hasta 1. será igual a $V$ $1-U$. Por lo que no son conjuntamente continuas. así que sólo podrás encontrar probabilidades como:

$P(U<t>1-t)$ y éste es igual a $P(U<t></t></t>