Prueba geométrica de la existencia de números irracionales.

Question

Es fácil, usando sólo regla y compás, construir longitudes irracionales, ¿hay alguna manera de demostrar, usando sólo regla y compás, que hay longitudes construibles que son irracionales? Es decir, una prueba geométrica.

¿Y es posible construir una secuencia (interminable) de longitudes o áreas racionales, de manera que puedan acercarse arbitrariamente al área o a la circunferencia de un círculo?

Si no es así, ¿proporciona esto evidencia de que los números reales no son lo suficientemente refinados como para capturar exactamente la circunferencia o el área de un círculo idealizado?

(La idea es que los reales pueden ser construidos a partir de clases de equivalencia de secuencias infinitas de racionales, por lo que si la circunferencia no puede ser abordada arbitrariamente por los racionales entonces no es necesariamente un número real)

Answer 1

Hay muchos argumentos geométricos atractivos para la irracionalidad. Aquí hay uno para la Relación áurea .

Construir un rectángulo de oro . Una receta para hacerlo se encuentra en Euclides, y era conocida por los primeros pitagóricos.

Debería haber un diagrama para ilustrar la idea. Quizás puedas dibujarlo tú mismo. Digamos que el rectángulo dorado es $ABCD$ con los vértices enumerados como de costumbre en sentido contrario a las agujas del reloj, y que $AB$ sea un lado largo del rectángulo.

Demostramos que el lado largo y el lado corto de un rectángulo áureo son inconmensurable . Supongamos por el contrario que los lados $AB$ y $BC$ tienen una medida común $m$ . O bien, en un lenguaje más moderno, supongamos que $AB$ y $BC$ tienen longitudes que son cada una un múltiplo entero de algún número común $m$ . O bien, aún más aritméticamente, supongamos que cada lado es un número entero.

Cortar un cuadrado $AEFD$ del rectángulo, encontrando el punto $E$ en $AB$ tal que $AE=AD$ y cortando directamente hacia arriba. Eso deja un rectángulo $EBCF$ que por la definición de rectángulo áureo, es a su vez áureo. Es evidente que $m$ es una medida común de los lados de $EBCF$ .

Continúe, cortando un cuadrado de $EBCF$ dejando un rectángulo dorado aún más pequeño cuyos lados tienen medida común $m$ . Evidentemente, este proceso puede continuar para siempre. Pero después de un tiempo, cada lado del pequeño rectángulo dorado que se acaba de producir será menor que la medida común hipotética $m$ y obtenemos nuestra contradicción.

Se ha especulado con la posibilidad de que este fuera el primero prueba de irracionalidad. El único problema de esta teoría es la falta total de pruebas.

Answer 2

Una relación entre cantidades es racional si y sólo si el algoritmo euclidiano aplicado a las cantidades termina, expresando en el proceso la relación como una fracción continua finita. La proporción áurea $G=\frac12(\sqrt{5}+1)$ es irracional, de hecho viene dada por la fracción continua $$1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cdots}}}.$$ Para demostrarlo geométricamente, dibuja un pentángulo regular y sus cinco diagonales (que forman un pentagrama). La relación entre una diagonal y un lado es $G$ . Se puede realizar el algoritmo euclidiano por inspección visual en esta figura: Si el lado del pentángulo es $1$ y la diagonal $G$ cada punto tiene dos lados de longitud $G-1$ etc., de hecho dos cantidades cualesquiera de esta figura que mira lo mismo son lo mismo, y después de emplear algunos pasos del algoritmo de Euclides te quedas con la diagonal y el lado del pentángulo más pequeño delineados por las diagonales del grande. Así, el proceso se repite eternamente.

Answer 3

De hecho, hay una manera de demostrar geométricamente que $\sqrt{2}$ es irracional. Conozco la prueba del blog Gaussianos que a su vez lo obtuvo de "Irrationality of the Square Root of Two - A Geometric Proof" del American Mathematical Monthly (Nov. 2000, ps. 841-842) por Tom Apostol. Puedes consultar las imágenes en el enlace o ver el artículo, la prueba es muy sencilla.

Answer 4

No estoy seguro de cómo propones usar la regla y el compás para probar algo, en lugar de construir algo. Sin embargo, tal vez la Prueba 7 en http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml se acerca.

Answer 5

En mi opinión, la irracionalidad es un concepto inherentemente algebraico. O más fuertemente, un concepto teórico de los números. No está claro qué significaría una representación geométrica de la noción de "irracional", aparte de las obvias superficiales.

De hecho, en una formalización común de la geometría euclidiana en la lógica de primer orden (debida a Tarski), se puede demostrar que es imposible incluso pregunte a si un número es irracional.

Es posible construir una secuencia de longitudes y áreas racionales para acercarse arbitrariamente al área o circunferencia de un círculo (o a cualquier múltiplo real de una longitud unitaria). De hecho, esta misma idea es el núcleo de la prueba clásica de que $$ \text{area} = \frac{1}{2} \text{radius} \cdot \text{circumference} $$ comparando el círculo con un polígono regular inscrito, que a su vez se subdivide en triángulos con un vértice en el centro. (aparte: la noción de longitud es sorprendentemente sutil y se necesitan algunos detalles técnicos importantes para rellenar los huecos de la prueba)